$证明:(1)连接CD.∵O是EF的中点，∴OE=OF.\ $
$又∵OD=OG，∴四边形EDFG是平行四边形\ $
$∵AC=BC，D是AB的中点，∠ACB=90°，\ $
$∴AD=DC，∠A=∠FCD=45°，CD⊥AB.\ $
$在△AED和△CFD中，\begin{cases}{AE=CF, }\\{∠A=∠FCD,}\\{AD=CD,}\end{cases}$
$∴△AED≌△CFD(SAS)，∴DE=DF，∠ADE=∠CDF.\ $
$∴四边形EDFG是菱形.$
$∵CD⊥AD，∴∠ADE+∠EDC=90°.\ $
$∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°.\ $
$∴四边形EDFG是正方形.\ $
$解:(2)∵四边形EDFG是正方形，∴当正方形的边长DE最短时，$
$正方形EDFG的面积最小.∵垂线段最短，∴ 当DE⊥AC时，$
$四边形EDFG 的面积最小.∵AD=DC，DE⊥AC，∴AE=EC，$
$DE=\frac{1}{2}AC=2.∴当E是AC的中点时，四边形EDFG的面$
$积最小，四边形EDFG面积的最小值是2²=4.$
