【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由CD是△ABC的中线，可得AD=BD；再结合BM//AN的平行条件，可得到两组内错角相等，满足AAS全等三角形的判定条件，证明△ADN和△BDM全等，得到DN=DM；最后将CM、CN用含CD、DM、DN的式子表示，代入DN=DM进行等量代换，即可推出CM+CN与CD的数量关系。
【解析】
∵$BM// AN$，
∴$∠ NAD=∠ MBD$，$∠ AND=∠ BMD$。
∵CD为$△ ABC$的中线，
∴$AD=BD$。
在$△ ADN$和$△ BDM$中：
$\begin{cases}∠ NAD=∠ MBD \\∠ AND=∠ BMD \\AD=BD\end{cases}$
∴$△ ADN≌△ BDM(\mathrm{AAS})$，
∴$DN=DM$。
∴$CM+CN=(CD-DM)+(CD+DN)$，
将$DN=DM$代入得：
$CM+CN=CD-DM+CD+DM=2CD$。
【答案】
$CM+CN=2CD$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中线的定义
【点评】
本题是线段和差倍分关系的典型考题，解题核心是结合中线、平行线的性质找到全等三角形，通过全等实现线段的等量代换，对几何逻辑推导能力有基础的考查要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 探究三条线段的数量关系，可采用截长补短的思路：通过延长AC到E使CE=BM构造全等三角形，先结合等边△ABC和等腰△BDC的性质推导∠MBD=∠ECD=90°，证明△MBD≌△ECD得到MD=DE、∠BDM=∠CDE；再结合∠MDN=60°推出∠MDN=∠EDN，证明△MDN≌△EDN，即可得到MN=EN=BM+NC。
(2) 求△AMN的周长时，可直接利用(1)的结论将MN替换为BM+NC，代入周长表达式后可转化为AB与AC的和，结合等边三角形边长即可求解。
【解析】
(1) $MN=BM+NC$，理由如下：
延长AC至点E，使得$CE=BM$，连接DE，如答图所示。
∵$△ ABC$为等边三角形，
∴$∠ ABC=∠ ACB=60°$。
∵$BD=DC$，$∠ BDC=120°$，
∴$∠ DBC=∠ DCB=30°$，
∴$∠ ABC+∠ DBC=∠ ACB+∠ DCB=60°+30°=90°$，
∴$∠ MBD=∠ ACD=90°$，
∴$∠ ECD=90°$。
在$△ MBD$与$△ ECD$中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ MBD=∠ ECD, \\ BM=CE, \end{cases}$
∴$△ MBD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$，
∴$MD=DE$，$∠ BDM=∠ CDE$。
又
∵$∠ BDC=120°$，$∠ MDN=60°$，
∴$∠ BDM+∠ NDC=∠ BDC-∠ MDN=60°$，
∴$∠ CDE+∠ NDC=60°$，即$∠ NDE=60°$，
∴$∠ MDN=∠ NDE$。
在$△ DMN$与$△ DEN$中，
$\begin{cases} DM=DE, \\ ∠ MDN=∠ EDN, \\ DN=DN, \end{cases}$
∴$△ DMN≌△ DEN(\mathrm{SAS})$，
∴$MN=EN$。
又
∵$NE=NC+CE$，$BM=CE$，
∴$MN=BM+NC$。
(2)
∵$△ ABC$为等边三角形，
∴$AB=BC=AC=2$，
由(1)知$BM=CE$，$MN=EN$，
∴$△ AMN$的周长为$AM+MN+AN=AM+NE+AN=AM+AN+NC+CE=AM+AN+NC+BM=(AM+BM)+(NC+AN)=AB+AC=2+2=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{MN=BM+NC}$；
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、截长补短法
【点评】
本题考查线段和差问题的求解，核心思路是通过构造全等三角形实现线段的等量转移，第一问的结论可直接应用于第二问的周长计算，体现了转化的数学思想，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明DB=DC，通常通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知AD是∠BAC的角平分线，结合角平分线的性质，可过D向AB、AC作垂线得到两条相等的垂线段；再利用已知的∠ABD+∠ACD=180°，通过同角的补角相等得到一组对应角相等，即可证明三角形全等得到结论。
(2) 要证明AB−AC=2BE，需通过全等转化线段关系。先过D作AC延长线的垂线，先证△DFC和△DEB全等，得到CF=BE、DF=DE；再证Rt△ADF和Rt△ADE全等，得到AF=AE；最后对AB进行拆分，通过等量代换即可推导出待证结论。
【解析】
(1) 如答图①，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC，交 AC 的延长线于点 F，则∠DEB=∠DEA=∠F=90°。
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAE。
又
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴DE=DF。
∵∠B+∠ACD=180°，∠DCF+∠ACD=180°，
∴∠B=∠DCF。
又
∵∠F=∠DEB，
∴△DEB≌△DFC(AAS)，
∴DB=DC。
(2) 如答图②，连接 AD，作 DF⊥AC，交 AC 的延长线于点 F。
∵∠ACD=135°，
∴∠FCD=180°−∠ACD=45°。
∵∠B=45°，
∴∠FCD=∠B。
在△DFC 和△DEB 中，
$\begin{cases} ∠DFC=∠DEB=90°, \\ ∠DCF=∠B, \\ DC=DB, \end{cases}$
∴△DFC≌△DEB(AAS)，
∴DF=DE，CF=BE。
在Rt△ADF 和Rt△ADE 中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，
∴AF=AE，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∴AB−AC=2BE。
【答案】
(1) 证明见上述解析，DB=DC成立；
(2) 证明见上述解析，AB−AC=2BE成立。
(注：配图对应、)
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、补角的性质
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段关系的典型题型，核心解题技巧是过角平分线上的点向角两边作垂线构造全等，通过全等实现线段的等量转化，掌握这类辅助线作法能快速解决同类线段相等、和差倍分证明问题。
【难度系数】
0.6