【分析】
首先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知的∠BAC=120°，算出底角∠B、∠C的度数；再根据AD⊥AB的条件求出∠DAC的度数，通过等角对等边得到DC与AD的长度关系；最后在Rt△ABD中利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，将BD和DC相加即可得到BC的长。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$∠ BAC=120°$
$\therefore ∠ B=∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°$
$\because AD⊥ AB$
$\therefore ∠ BAD=90°$
$\therefore ∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=120°-90°=30°$
$\therefore ∠ DAC=∠ C$
$\therefore DC=AD=5$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，30°角对的直角边为AD
$\therefore BD=2AD=2×5=10$
$\therefore BC=BD+DC=10+5=15$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等角对等边
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的综合应用题，解题的突破口是通过角度推导得到相等的角，再结合特殊三角形的边的关系求解，解题时注意不要遗漏DC=AD这一关键推导。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质分类讨论求解：首先等腰三角形的边BC未明确是腰还是底，且高AD可能在三角形内部也可能在三角形外部，因此分两类讨论：①BC为腰；②BC为底，再结合直角三角形中30°角对应的直角边是斜边一半的性质分别计算顶角的度数即可。
【解析】
我们分两类情况讨论：
1. 若BC为等腰三角形的腰，即$AC=BC$：
已知$AD⊥ BC$，$AD=\frac{1}{2}BC$，因此$AD=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt△ ADC$中，直角边$AD$是斜边$AC$的一半，因此$∠ ACD=30°$。
如图①，当AD在$△ ABC$内部时，顶角$∠ C=30°$；
如图②，当AD在$△ ABC$外部时，顶角$∠ ACB=180°-30°=150°$。
2. 若BC为等腰三角形的底，即$AB=AC$：
如图③，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，D是BC的中点，因此$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
已知$AD=\frac{1}{2}BC$，因此$AD=BD=CD$，可得$△ ABD$和$△ ACD$均为等腰直角三角形，$∠ BAD=∠ B=45°$，$∠ CAD=∠ C=45°$，因此顶角$∠ BAC=45°+45°=90°$。
综上，等腰三角形ABC的顶角度数为$30°$或$150°$或$90°$。
【答案】
$30°$或$150°$或$90°$
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，解题时要充分考虑等腰三角形边的属性（腰/底）以及高的位置（三角形内/外）两种情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.5

【分析】
(1) 先在Rt△ABC中根据直角三角形两锐角互余求出∠B=60°，再由DE⊥AB得∠EDB=90°，结合∠EDF=30°可得∠FDB=60°，△BDF中两个内角为60°，即可判断其形状；
(2) 先利用含30°角的直角三角形性质求出AB的长，再结合等边三角形BD=BF的性质，将AD用含CF的式子表示，化简后即可得出AD-CF为定值；
(3) 当EF//AB时，由平行线的性质得到对应角相等，分别在Rt△CEF和Rt△EDF中利用含30°角的直角三角形性质推出CF与DF的数量关系，再结合DF=BF=2-CF列方程求出CF，最后借助第二问的结论即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠B=90°-30°=60°。
因为DE⊥AB，所以∠EDB=90°，又∠EDF=30°，所以∠FDB=90°-30°=60°，则∠DFB=180°-∠B-∠FDB=60°，即∠B=∠FDB=∠DFB=60°，因此△BDF是等边三角形。
(2) AD−CF 的值不变，求解过程如下：
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴AB=2BC=4。
∵BF+CF=BC=2,
∴BF=2−CF。
∵△BDF是等边三角形,
∴BD=BF=2−CF,
∴AD=AB-BD=4−(2−CF)=2+CF,
∴AD−CF=2+CF−CF=2，即AD-CF的值恒为2。
(3) 当EF//AB时：
∵EF//AB,
∴∠CEF=∠A=30°,∠FED=∠ADE=90°,
在Rt△CEF中，∠CEF=30°，因此CF=$\frac{1}{2}$EF。
在Rt△EFD中，∠EDF=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}$DF,
∴CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{4}$DF。
∵△BDF是等边三角形，
∴DF=BF=BC−CF=2−CF,
∴CF=$\frac{1}{4}$(2−CF)，解得 CF=$\frac{2}{5}$,
由(2)的结论AD−CF=2,
∴AD=2+CF=2+$\frac{2}{5}$=$\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) 等边
(2) AD-CF的值不变，值为2
(3) AD的长为$\frac{12}{5}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；等边三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查了特殊三角形和平行线的性质，解题关键是挖掘图形中角的数量关系，准确判断特殊三角形的形状，同时要注意前后小问的关联性，借助前一问的结论可以简化计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.6