【分析】
这是勾股定理的实际应用类题目，解题思路如下：1. 先根据AB的总长度和C是AB中点的条件，求出AC的长度；2. 由DC垂直AB可知△ACD是直角三角形，已知AC和DC的长度，利用勾股定理求出AD的长度；3. 根据图形对称性可知AD=BD，计算出拉升后橡皮筋总长度为AD+BD，用总长度减去原来AB的长度，即可得到拉长的长度。
【解析】
解：
∵AB长为8cm，C是AB的中点，
∴$AC = BC = \frac{1}{2}AB = 4\mathrm{cm}$，
∵$DC⊥ AB$，
∴△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，$AC=4\mathrm{cm}$，$CD=3\mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\mathrm{cm}$，
同理可得$BD=5\mathrm{cm}$，
∴拉升后橡皮筋总长度为$AD+BD=5+5=10\mathrm{cm}$，
∴橡皮筋被拉长了$10 - 8 = 2\mathrm{cm}$。
【答案】A
【知识点】勾股定理，线段中点的性质
【点评】本题是勾股定理的简单实际应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，掌握勾股定理的基本应用即可快速解题。
【难度系数】0.8

【分析】
本题可通过从实际场景中抽象出直角三角形求解：首先由鱼线垂直于水面可知△ABC和△AB'C'均为直角三角形，鱼竿转动前后长度不变，即AC=AC'=10m；接下来先后在两个直角三角形中，利用勾股定理求出AB和AB'的长度，最后用AB的长度减去AB'的长度即可得到BB'的距离。
【解析】
∵ BC⊥AB，B'C'⊥AB，
∴ ∠ABC=∠AB'C'=90°，△ABC和△AB'C'均为直角三角形。
鱼竿转动前后长度不变，故AC'=AC=10m。
在Rt△ABC中，AC=10m，BC=6m，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
在Rt△AB'C'中，AC'=10m，B'C'=8m，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{AC'^2-B'C'^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$
∴ $BB'=AB-AB'=8-6=2\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要准确找到直角三角形的已知边长，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先将文字描述转化为几何量关系：首先明确AC为湖水深度，长x尺，BC是红莲高出水面的长度，因此红莲总长度AB=AC+BC=x+0.5尺；风吹倒红莲后长度不变，故AB'=AB=x+0.5尺。观察图形可知△ACB'是直角三角形，∠C为直角，两条直角边分别为AC、B'C，斜边为AB'，结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出方程。
【解析】
设湖水深度AC的长为x尺，
则红莲的总长度为 $ AB = AC + BC = x + 0.5 $ 尺，
由题意可知 $ AB' = AB = x + 0.5 $ 尺，
∵ $ AC ⊥ B'C $，
∴ △ACB'是直角三角形，∠C=90°，
根据勾股定理得：$ AC^2 + B'C^2 = AB'^2 $，
代入对应线段长度得：$ x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2 $。
【答案】
$ x^2+2^2=(x+0.5)^2 $
【知识点】
勾股定理；列方程解几何问题
【点评】
本题以古算诗为背景，将实际问题转化为几何模型，考查学生提取有效信息、转化数学条件的能力，核心是熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用，找准等量关系是解题关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
求解立体图形表面的最短路径问题，核心思路是将立体图形展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”确定最短路径为两点的连线段，再结合勾股定理计算线段长度。本题中先明确正三棱柱展开后水平方向的总长度，再结合长方形的宽作为竖直方向的边长，构造直角三角形后用勾股定理计算即可。
【解析】
将正三棱柱纸盒的两侧面展开，连接AC，如图。
首先计算展开后AB的长度：$AB = 11 + 1 + 1 -1 = 12\ \mathrm{cm}$，
长方形的宽$BC = 5\ \mathrm{cm}$，且$∠ B = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm}$。
【答案】
13
【知识点】
最短路径问题，勾股定理的应用，立体图形展开
【点评】
本题结合实际场景考查最短路径的求解，解题关键是正确对立体图形进行展开，准确得到展开后直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算，是几何应用的典型题型，需要熟练掌握展开图的处理逻辑。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 判断三角形形状时，已知△ACH的三边长度，优先考虑用勾股定理的逆定理验证：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，只需计算对应边长的平方验证关系即可。
(2) 求AB的长时，已知AB=BC，可设AB长度为未知数，用含未知数的式子表示出BH的长度；由(1)的结论可得AH垂直于BC，因此△AHB是直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到AB的长度。
【解析】
(1) △ACH是直角三角形，理由如下：
已知$CH=0.6\ \mathrm{km}$，$AH=0.8\ \mathrm{km}$，$AC=1\ \mathrm{km}$，
计算得$CH^2+AH^2=0.6^2+0.8^2=0.36+0.64=1$，$AC^2=1^2=1$，
因此$CH^2+AH^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ AHC=90°$，故△ACH是直角三角形。
(2) 设$AB=BC=x\ \mathrm{km}$，
因为H在线段BC上，$CH=0.6\ \mathrm{km}$，所以$BH=BC-CH=(x-0.6)\ \mathrm{km}$，
由(1)得$∠ AHC=90°$，又$∠ AHC+∠ AHB=180°$，因此$∠ AHB=90°$，即△AHB为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△AHB$中，根据勾股定理得$BH^2+AH^2=AB^2$，
代入数据得$(x-0.6)^2+0.8^2=x^2$，
展开化简得$x^2-1.2x+0.36+0.64=x^2$，即$1.2x=1$，解得$x=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) $△ ACH$是直角三角形，理由见解析；
(2) 路线AB的长为$\frac{5}{6}\ \mathrm{km}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，方程法求线段长
【点评】
本题是勾股定理实际应用的典型题型，既考察了直角三角形的判定方法，又结合方程思想求解未知线段，难度较低，需要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用条件，学会通过设未知数结合几何等量关系求解线段长度的方法。
【难度系数】
0.7

【分析】
要确定筷子露在杯子外的长度$h$的取值范围，首先明确$h = \mathrm{筷子总长度} - \mathrm{杯内筷子的长度}$，因此只需先求出杯内筷子长度的取值范围即可。杯内筷子最短的情况是筷子垂直于杯底放置，此时杯内长度等于水杯的高；杯内筷子最长的情况是筷子斜放，两端分别抵住杯底、杯口的相对边缘，此时杯内筷子是由底面直径和水杯高构成的直角三角形的斜边，用勾股定理可求出该长度，进而得到$h$的最大值和最小值，确定取值范围。
【解析】
1. 求$h$的最大值：
当筷子垂直于杯底放置时，杯内筷子长度等于水杯的高，即$12\mathrm{cm}$。
此时露在外面的长度最大：$h_{\mathrm{最大}}=24-12=12(\mathrm{cm})$。
2. 求$h$的最小值：
当筷子斜放，底端抵在杯底圆周一侧，顶端抵在杯口圆周另一侧时，杯内筷子、底面直径、水杯的高构成直角三角形，且杯内筷子为斜边。
根据勾股定理，杯内筷子长度为：$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13(\mathrm{cm})$。
此时露在外面的长度最小：$h_{\mathrm{最小}}=24-13=11(\mathrm{cm})$。
因此$h$的取值范围为$11≤ h≤12$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；最值分析；圆柱特征
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的典型应用，解题核心是准确找到杯内筷子长度的两种极端情况，通过构造直角三角形结合勾股定理求解，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.7