【分析】
解决本题首先要明确勾股数的两个核心判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两数的平方和等于最大数的平方。解题时可先利用第一个条件快速排除不符合的选项，再对剩余选项用第二个条件验证，即可选出正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足勾股定理逆定理的三个正整数，称为勾股数，判定需同时满足两个要求：
1. 三个数均为正整数；
2. 较小两数的平方和等于最大数的平方。
逐一分析选项：
A. $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
B. 0.3、0.4、0.5是小数，不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
C. $2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不满足平方和关系，排除；
D. 7、24、25均为正整数，且$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，符合勾股数的所有判定条件，当选。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的判定、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和关系而误选B选项，解题时先判断数的类型再验证平方关系，可有效减少错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决本题首先要根据已知的三边长判断三角形的形状，我们可以先计算较小两边的平方和，再和最长边的平方对比，验证是否符合勾股定理的逆定理。如果判定为直角三角形，最长边就是斜边，再结合直角三角形斜边上中线的特殊性质，就能直接算出结果，不需要复杂的中线计算。
【解析】
第一步：判定三角形形状
计算三边平方：
$10^2+24^2=100+576=676$，$26^2=676$
因此$10^2+24^2=26^2$，根据勾股定理的逆定理，可得该三角形是直角三角形，长度为26的边是斜边，也就是最长边。
第二步：计算最长边上的中线长
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此最长边上的中线长为$26÷2=13$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题的解题关键是先判定三角形的形状，熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的特殊性质，可以快速得出结果，避免使用复杂的中线计算公式，属于对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先结合已知线段长度求出△ABC三边的长度：①根据同圆半径相等，可知AC=AN、BC=BM，先通过线段和差计算出AN、BM的长度，即可得到AC、BC的长度；②计算出AB的总长度，得到△ABC的三边长后，利用勾股定理的逆定理判断三角形形状即可。
【解析】
首先计算各线段长度：
1. 求AC的长度：AN = AM + MN = 2 + 2 = 4，由同圆半径相等可得AC = AN = 4；
2. 求BC的长度：BM = MN + NB = 2 + 1 = 3，由同圆半径相等可得BC = BM = 3；
3. 求AB的长度：AB = AM + MN + NB = 2 + 2 + 1 = 5；
接下来验证三边的平方关系：
∵ AC² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25，AB² = 5² = 25
∴ AC² + BC² = AB²
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；圆的半径相等；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题核心是先借助线段和差、圆的性质得到三角形三边长度，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状，是勾股定理逆定理的典型考查题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的运算结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数的值都为0。据此可得到两个关于三角形三边的等式，先通过第一个等式判断边的相等关系，再通过第二个等式结合勾股定理的逆定理判断三角形是否存在直角，最终结合两个结论确定三角形的形状。
【解析】
解：
∵算术平方根和绝对值都具有非负性，即$\sqrt{a^2 - c^2} ≥ 0$，$|a^2 - b^2 + c^2| ≥ 0$，且$\sqrt{a^2 - c^2} + |a^2 - b^2 + c^2| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}\sqrt{a^2 - c^2}=0 \\ |a^2 - b^2 + c^2|=0\end{cases}$
由$\sqrt{a^2 - c^2}=0$得：$a^2 - c^2=0$，即$a^2=c^2$
∵a、c是三角形的边长，均为正数，
∴$a=c$，可知$△ ABC$是等腰三角形。
由$|a^2 - b^2 + c^2|=0$得：$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B$为直角。
综上，$△ ABC$既是等腰三角形又是直角三角形，因此是等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角
【知识点】
非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形判定
【点评】
本题属于特殊三角形判定的基础常考题，解题核心是熟练掌握非负数的性质，结合勾股定理的逆定理综合判断三角形形状，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）求DB的长时，观察可知DB是直角三角形CDB的直角边，已知该三角形的斜边BC和另一条直角边CD的长度，直接运用勾股定理即可求解；（2）要证明AC⊥BC，本质是证明△ABC中∠ACB=90°，可先求出AD的长度，用勾股定理算出AC²，再验证AC²与BC²的和是否等于AB²，若相等，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，且直角为∠ACB，即可得到AC⊥BC的结论。
【解析】
（1）解：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，△CDB为直角三角形。
在$Rt△ CDB$中，$BC = \sqrt{5}$，$CD = 2$，由勾股定理得：
$DB = \sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{5-4}=1$。
（2）证明：由（1）得$DB=1$，已知$AB=5$，
∴ $AD=AB-DB=5-1=4$。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDA=90°，△ACD为直角三角形，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=16+4=20$。
又$BC=\sqrt{5}$，则$BC^2=(\sqrt{5})^2=5$，
∴ $AC^2+BC^2=20+5=25$，
∵ $AB^2=5^2=25$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ACB=90°$，
∴ $AC⊥BC$。
【答案】
（1）$DB=1$；（2）$AC⊥BC$，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的典型基础应用题，先借助勾股定理求解直角三角形的未知边长，再通过逆定理判定三角形为直角三角形，进而证明垂直关系，解题时注意区分两个定理的适用场景，理清边的对应关系即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算∠BAC的度数，我们可以利用网格特征结合勾股定理先求出△ABC三边的长度平方，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而得到角的度数。首先数出各边对应的横向、纵向格差，用勾股定理计算边长平方，再验证是否满足直角三角形的判定条件，同时观察边的相等关系即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC三边的平方：
$AC^2=3^2+1^2=10$，
$BC^2=3^2+1^2=10$，
$AB^2=2^2+4^2=20$，
可得$AC^2+BC^2=10+10=20=AB^2$，且$AC=BC$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是等腰直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
因此$∠ BAC=45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中角度计算的常考题型，解题核心是通过勾股定理量化边长，再用逆定理判断三角形形状，不需要直接测量角度，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先对已知给出的等式进行移项变形，观察变形后的等式结构，联想到勾股定理的逆定理，可判断出△ABD的形状，进而得到AD与BC的位置关系，再结合三角形各特殊线段的定义逐一判断选项即可。
【解析】
解：已知$AB^2 - BD^2 = AD^2$，移项可得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABD$是直角三角形，且斜边为$AB$，因此$∠ ADB = 90°$，即$AD ⊥ BC$。
结合D是边BC上一点，可知AD是边BC上的高线。
对其余选项分析：
A. 角平分线需要满足$∠ BAD = ∠ CAD$，题中无相关条件，无法推出；
C. 中线需要满足$BD = DC$，题中无相关条件，无法推出；
D. 边BC的垂直平分线需要同时满足$AD ⊥ BC$且D为BC中点，题中无法证明D是BC中点，不满足要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形的高线定义
【点评】
本题核心是利用勾股定理的逆定理判断线段的垂直关系，需要准确区分三角形角平分线、中线、高线、垂直平分线的概念，结合已知条件排除不符合的选项即可求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要求∠ADC的度数，可将其拆分为两个角的和求解：首先观察到∠A=90°且AB=AD，连接BD后可得到等腰直角△ABD，先算出∠ADB的度数和BD的长度；再根据△BCD的三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△BCD是否为直角三角形，得到∠CDB的度数，最后将两个角相加即可得到∠ADC的度数。
【解析】
连接BD，
∵ ∠A=90°，AB=AD=4，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$BD^2=AD^2+AB^2=4^2+4^2=32$，且$∠ADB=45°$。
在△BCD中，CD=2，BC=6，
∵ $CD^2+BD^2=2^2+32=4+32=36$，$BC^2=6^2=36$，
∴ $CD^2+BD^2=BC^2$，
由勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且$∠CDB=90°$，
∴ $∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°+90°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及逆定理的典型应用题型，通过添加辅助线将四边形拆分为两个特殊三角形，把已知条件逐步转化为所求角相关的结论，解题时需注意特殊三角形的边角关系的准确应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先确定所有可能的三点组合：从A、B、C、D四点中任取三点，共能组成4个三角形，分别为△ABD、△ABC、△ACD、△BCD。接下来结合网格特征，利用勾股定理计算各三角形边长的平方（直接计算平方可简化计算，无需开方求边长），最后用勾股定理的逆定理逐一判断每个三角形是否为直角三角形，统计符合条件的数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，首先计算各条线段的平方：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$BD^2=1^2+2^2=5$，$AD^2=1^2+3^2=10$，
$AC^2=2^2+4^2=20$，$CD^2=1^2+3^2=10$，$BC^2=5^2=25$。
对4个三角形逐一判断：
1. 对△ABD：$AB^2+BD^2=5+5=10=AD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形；
2. 对△ACD：$AD^2+CD^2=10+10=20=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形；
3. 对△ABC：$AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形；
4. 对△BCD：$BD^2+CD^2=5+10=15≠ BC^2$，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形。
综上，直角三角形共有3个。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格背景下的直角三角形判定题，解题关键是先不重不漏地列出所有可能的三角形，再准确计算各边的平方，结合勾股定理的逆定理判断，能有效考查学生的计算能力和定理应用能力。
【难度系数】
0.7