1.（2026·江苏徐州月考）如图，在$△ ABC$中，$AB＝AC$，点$P$从点$B$出发在线段$BA$上移动（点$P$与$A$，$B$两点不重合），同时点$F$从点$C$出发在线段$AC$的延长线上移动，且$P$，$F$两点移动的速度相同，$PF$与直线$BC$相交于点$D$.
（1）求证：$DP＝DF$；
（2）过点$P$作直线$BC$的垂线，垂足为$E$，在$P$，$F$两点移动的过程中，求线段$ED$与$BC$之间的数量关系.
答案：1. (1) 过点 P 作 PQ//AC 交 BC 于点 Q,则∠ACB=∠PQB,∠CFD=∠DPQ. 因为点 P 和点 F 同时出发,且速度相同,所以 CF=BP. 又 AB=AC,所以∠ACB=∠B,即∠PQB=∠B. 所以 BP=PQ,即PQ=FC. 又∠PDQ=∠FDC,所以△PQD≌△FCD(AAS). 所以 DP=DF.
(2) $ED=\frac{1}{2} BC$. 理由如下:由(1),得△PQD≌△FCD,BP=PQ,所以 DQ=DC,即 $DQ=\frac{1}{2}QC$.因为 $PE⊥BQ$,所以 $EQ=\frac{1}{2}BQ$. 所以 $ED=DQ+EQ=\frac{1}{2}QC+\frac{1}{2}BQ=\frac{1}{2}BC$.
解析：
【分析】
（1）要证明$DP=DF$，可通过证明两条线段所在三角形全等来实现。观察图形无直接全等的三角形，因此作辅助线：过点$P$作$PQ// AC$交$BC$于$Q$，利用平行线性质得到角相等，结合$AB=AC$的等腰性质推出$BP=PQ$，再结合$P$、$F$移动速度相同得$BP=CF$，即$PQ=CF$，即可证明$△ PQD$和$△ FCD$全等，得到$DP=DF$。
（2）求$ED$与$BC$的数量关系，结合（1）的全等结论可得$DQ=DC$，即$DQ$是$QC$的一半；再由$PE⊥ BC$，$△ BPQ$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得$EQ$是$BQ$的一半，将$ED$拆为$EQ+DQ$，即可推出$ED$与$BC$的关系。
【解析】
（1）证明：过点$P$作$PQ// AC$，交$BC$于点$Q$，
$\therefore ∠ ACB=∠ PQB$，$∠ CFD=∠ DPQ$，
$\because P$、$F$两点同时出发且移动速度相同，$\therefore CF=BP$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ACB=∠ B$，
$\therefore ∠ PQB=∠ B$，$\therefore BP=PQ$，
$\therefore PQ=FC$，
在$△ PQD$和$△ FCD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ DPQ=∠ CFD\\ ∠ PDQ=∠ FDC\\ PQ=FC\end{array} $
$\therefore △ PQD≌△ FCD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DP=DF$。
（2）解：$ED=\frac{1}{2}BC$，理由如下：
由（1）可知$△ PQD≌△ FCD$，且$BP=PQ$，
$\therefore DQ=DC$，即$DQ=\frac{1}{2}QC$，
$\because PE⊥ BC$，$△ BPQ$为等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一的性质，得$EQ=\frac{1}{2}BQ$，
$\therefore ED=EQ+DQ=\frac{1}{2}BQ+\frac{1}{2}QC=\frac{1}{2}(BQ+QC)=\frac{1}{2}BC$。
【答案】
（1）证明成立，$DP=DF$；（2）$ED=\frac{1}{2}BC$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查辅助线的构造方法，通过作平行线构造全等三角形是解决第一问的关键，第二问结合等腰三角形三线合一的性质拆分线段，即可快速得到线段间的数量关系，要求熟练掌握全等、等腰的相关性质，学会根据待证结论构造合适的辅助线。
【难度系数】
0.6
2. 如图，$AD// BC$，$∠ PAB$的平分线与$∠ CBA$的平分线相交于点E，连接CE并延长交AP于点D。求证：$AD+BC=AB$。
答案：2. 延长 BE 交 AP 于点 F. 因为 AD//BC,所以∠AFE=∠CBE. 因为 BE 平分∠CBA,所以∠CBE=∠ABE,即∠AFE=∠ABE. 所以 AF=AB. 因为AE 平分∠BAD,所以 BE=FE. 又∠FED=∠BEC,所以△DEF≌△CEB(ASA). 所以 FD=BC. 所以AD+BC=AD+FD=AF=AB.
解析：
【分析】
要证明两条线段的和等于第三条线段，通常采用截长补短的解题思路。本题已知AD//BC，同时存在∠PAB、∠CBA的角平分线，可通过延长BE构造等腰三角形，先将AB转化为与AP共线的线段AF，再通过证明三角形全等把BC转化为FD，即可将AD+BC转化为AF，从而推导出待证结论。
【解析】
证明：延长BE交AP于点F。
∵AD//BC，
∴∠AFE=∠CBE（两直线平行，内错角相等）。
∵BE平分∠CBA，
∴∠CBE=∠ABE，
∴∠AFE=∠ABE，
∴AF=AB（等角对等边）。
∵AE平分∠BAD，且△ABF为等腰三角形，
∴BE=FE（等腰三角形顶角平分线与底边中线重合，即三线合一）。
在△DEF和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ DFE=∠ CBE \\FE=BE \\∠ FED=∠ BEC\end{array} $
∴△DEF≌△CEB（ASA），
∴FD=BC（全等三角形对应边相等），
∴AD+BC=AD+FD=AF=AB。
【答案】
AD+BC=AB
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的线段和差类证明题，核心思路为截长补短，通过构造辅助线将分散的线段转化到同一直线上，结合角平分线、平行线、等腰三角形、全等三角形的性质即可求解，掌握常见的辅助线构造技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=80°$，AD平分$∠ BAC$，$BD⊥ AD$，垂足为D，E为BC上一点，$DE// AC$，
则$∠ BDE$的度数为（
D
）
A.$115°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$
答案：3. D 解析:延长 BD 交 AC 于点 F. 因为∠BAC=80°,AD 平分∠BAC,所以 $∠DAF=\frac{1}{2}∠BAC=40°$. 因为 $AD⊥BD$,所以 $∠ADF=90°$. 所以 $∠BFC=∠DAF+∠ADF=130°$. 因为 $DE // AC$, 所以$∠BDE=∠BFC=130°$.
解析：
【分析】
解题时首先观察已知条件，出现“角平分线+边上的垂线”的组合，我们可以通过延长BD交AC于点F的辅助线作法，将已知角的条件整合；其次要求∠BDE的度数，已知DE//AC，可利用平行线的性质将∠BDE转化为与AC相关的同位角求解。先根据角平分线定义求出∠CAD的度数，再结合垂直的条件计算出待转化角的度数，最后利用平行线的性质即可得到结果。
【解析】
解：延长BD交AC于点F。
1. 因为AD平分∠BAC，∠BAC=80°，根据角平分线的定义，得$∠ DAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
2. 因为$BD⊥ AD$，所以$∠ ADF=90°$。
3. 根据三角形外角的性质，$∠ BFC$是$△ ADF$的外角，因此$∠ BFC=∠ DAF+∠ ADF=40°+90°=130°$。
4. 因为$DE// AC$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠ BDE=∠ BFC=130°$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是掌握“角平分线+垂线”时延长垂线构造辅助线的常用方法，将角的关系通过平行线、外角性质进行转化即可求解，熟练掌握常见辅助线作法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 阅读理解:在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形:
如图①,若$∠ ABC=2∠ C$,作$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$,则$△ DBC$是等腰三角形;
如图②,若$∠ ABC=2∠ C$,延长$CB$至点$D$,使$BD=BA$,连接$AD$,则$△ ACD$是等腰三角形;
如图③,若$∠ B=2∠ ACB$,以点$C$为顶点,$CA$为一边,在$△ ABC$外作$∠ ACD=∠ ACB$,$CD$交$BA$的延长线于点$D$,则$△ DBC$是等腰三角形.
解决问题:如图④,在$△ ABC$中,$∠ ACB=2∠ B$,$BC=2AC$.求证:$∠ A=90°$.
答案：4. 作 CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,过点 D 作 DE⊥BC于点 E,则∠ACD=∠BCD,∠ACB=2∠BCD,∠DEC=90°. 因为∠ACB=2∠B,所以∠B=∠BCD. 所以 BD=DC,即△DBC 是等腰三角形. 又$DE⊥BC$,所以 BC=2EC. 又 BC=2AC,所以 AC=EC. 又 CD=CD, 所以 $△ACD≌△ECD$(SAS). 所以$∠A=∠DEC=90°$.
解析：
【分析】
解题时先结合题干给出的倍角构造等腰三角形的思路，第一步：针对∠ACB=2∠B的条件，作∠ACB的角平分线CD，即可得到∠BCD=∠B，推出△DBC为等腰三角形；第二步：结合BC=2AC的边的倍分条件，作等腰△DBC底边BC上的高DE，利用等腰三角形三线合一的性质，可得BC=2EC，进而推出AC=EC；第三步：证明△ACD与△ECD全等，借助全等三角形对应角相等，即可将∠A与直角∠DEC等量代换，得到∠A=90°的结论。
【解析】
证明：作CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，
∴∠ACD=∠BCD，∠ACB=2∠BCD，∠DEC=90°。
∵∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=DC，即△DBC是等腰三角形。
∵DE⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴BC=2EC。
又
∵BC=2AC，
∴AC=EC。
在$△ ACD$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}AC=EC \\∠ACD=∠ECD \\CD=CD\end{cases}$
∴$△ ACD≌△ ECD$（SAS），
∴$∠A=∠DEC=90°$。
【答案】
$\boldsymbol{∠A=90°}$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于材料阅读类几何证明题，需要结合材料给出的倍角构造等腰的方法合理作辅助线，将已知的角的倍分关系、边的倍分关系通过等腰三角形、全等三角形进行转化推导，考查了几何辅助线构造能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
