【分析】
解题时先从已知条件梳理思路：①看到AD是角平分线，优先联想到角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB、AC的高，可得△ABD和△ACD的高相等，二者面积比就等于对应底AB、AC的比；②已知△OAE比△BOD面积大2，观察发现两个三角形均和△ABO相邻，将两个三角形都加上公共部分△ABO的面积，即可转化得到$S_{△ABE} - S_{△ABD}=2$；③E是AC中点，可知△ABE的面积是△ABC的一半。接下来设△ABD的面积为a，用a表示出△ACD的面积，再根据两个三角形的面积比为3:4列方程求解，最后算出△ABC的总面积即可。
【解析】
解：过点D分别作$DF⊥AB$，$DG⊥AC$，垂足分别为F、G。
∵AD平分$∠BAC$，根据角平分线的性质可得$DF = DG$。
∵$S_{△OAE} - S_{△BOD} = 2$，
且$S_{△ABE} = S_{△OAE} + S_{△ABO}$，$S_{△ABD} = S_{△BOD} + S_{△ABO}$，
两式相减得：$S_{△ABE} - S_{△ABD} = S_{△OAE} - S_{△BOD} = 2$。
∵E为AC的中点，根据三角形中线平分三角形面积的性质，得$S_{△ABC}=2S_{△ABE}$。
设$S_{△ABD} = a$，则$S_{△ABE} = a+2$，
∴$S_{△ABC}=2(a+2)=2a+4$，
∴$S_{△ACD} = S_{△ABC} - S_{△ABD} = (2a+4) - a = a+4$。
又
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB · DF$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC · DG$，且$DF=DG$，$BA:CA=3:4$，
∴$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=3:4$，
即 $a : (a+4)=3 : 4$，
交叉相乘得$4a=3(a+4)$，
解得 $a=12$。
则$S_{△ABC}=2×12 +4=28$。
【答案】
28
【知识点】
角平分线的性质；三角形中线的性质；同高三角形面积比
【点评】
本题是三角形面积与角平分线、中线性质的综合应用题，解题的关键是对面积差进行转化，消去公共部分的面积，得到两个可关联的三角形面积关系，再结合同高三角形面积比等于对应底之比的规律列方程求解，很好地考查了面积转化的数学思想。
【难度系数】
0.3

【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：看到线段垂直平分线，可连接CE得到CE=BE，利用HL证Rt△EDC≌Rt△EDB，得到∠ECD的度数；看到角平分线，过E作ER⊥AC，利用角平分线的性质得到ER=EF，结合CE=BE证Rt△ERC≌Rt△EFB，得到∠EBF的度数；再借助三角形外角的性质，先后求出∠CAM、∠CAE、∠DOE的度数，最后在Rt△EDO中利用内角和外角的关系算出∠AED的度数。
【解析】
如图，连接CE，过点E作$ER⊥AC$于点R，设AE交BC于点O。
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴$∠EDC=∠EDB=90°$，$CE=BE$。
又
∵$ED=ED$，
∴$\mathrm{Rt}△EDC≌\mathrm{Rt}△EDB(\mathrm{HL})$，
∴$∠ECD=∠EBD$。
∵$∠EBD=25°$，
∴$∠ECD= 25°$。
又
∵$∠ACB = 28°$，
∴$∠ECR = ∠ECD + ∠ACB = 25°+28°=53°$。
∵AE平分$∠CAM$，$EF⊥AM$，$ER⊥AC$，
∴$ER = EF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ERC$和$\mathrm{Rt}△EFB$中，
$\{\begin{array}{l}CE=BE\\ ER=EF\end{array} $
∴$\mathrm{Rt}△ERC≌\mathrm{Rt}△EFB(\mathrm{HL})$，
∴$∠EBF=∠ECR=53°$。
∵$∠CBF$是$△ ABC$的外角，
∴$∠CBF=∠CAM+∠ACB$，
又
∵$∠CBF=∠EBF+∠EBD$，
∴$∠CAM=∠EBF+∠EBD-∠ACB=53°+25°-28°=50°$。
∵AE平分$∠CAM$，
∴$∠CAE=\frac{1}{2}∠CAM=\frac{1}{2}×50°= 25°$。
∵$∠DOE$是$△ AOC$的外角，
∴$∠DOE = ∠CAE + ∠ACB =25°+28°= 53°$。
又
∵在$△ EDO$中，$∠EDC=90°$，$∠EDC=∠DOE+∠AED$，
∴$∠AED=∠EDC-∠DOE=90°-53°=37°$。

【答案】
37°
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何中常见性质定理的应用，解题的关键是根据已知条件构造合适的辅助线，通过全等三角形实现角度的转化，再结合三角形外角的性质逐步推导所求角度，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

【分析】
(1) 求∠CAD的度数：首先在Rt△AEF中利用直角三角形两锐角互余求出∠FAE的度数，再结合平角为180°，用180°减去已知的∠BAD和求出的∠FAE，即可得到∠CAD的度数。
(2) 证明DE平分∠ADC：根据角平分线的判定定理，需证明点E到AD和DC的距离相等，因此过E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H；先由(1)的结论得到AE平分∠DAF，结合角平分线性质得EF=EG，再由BE是∠ABC的平分线，得EF=EH，等量代换得EG=EH，即可证明DE平分∠ADC。
(3) 求△ABE的面积：首先△ACD的面积可拆分为△ADE和△CDE的面积和，代入AD、CD的长度以及EG=EH的关系，先求出EG的长度，即得到EF的长度，再利用三角形面积公式，以AB为底，EF为高计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵$EF⊥AB$，
∴$∠F=90°$，在Rt△AEF中，$∠FAE= 90°-∠AEF = 90°-50°=40°$。
∵$∠BAD = 100°$，且B、A、F三点共线，
∴$∠CAD=180°-∠BAD-∠FAE=180°-100°-40°=40°$。
(2) 证明：过点E分别作$EG⊥AD$于点G，$EH⊥BC$于点H。
由(1)得$∠FAE=∠CAD=40°$，即AE平分$∠DAF$，
又
∵$EF⊥AF$，$EG⊥AD$，根据角平分线的性质，得$EF = EG$。
∵BE平分$∠ABC$，$EF⊥BF$，$EH⊥BC$，同理得$EF = EH$。
∴$EG = EH$，
又
∵$EG⊥AD$，$EH⊥BC$，根据角平分线的判定定理，可得DE平分$∠ADC$。
(3) 解：
∵$S_{△ACD} = S_{△ADE} + S_{△CDE} =15$，
∴$\frac{1}{2}AD · EG + \frac{1}{2}CD · EH = 15$，
由(2)得$EF = EG=EH$，且$CD=8$，$AD=4$，代入得：
$\frac{1}{2} ×4×EG + \frac{1}{2} × 8×EG=15$，
即$2EG+4EG=15$，解得$EG=\frac{5}{2}$，
∴$EF = EG = \frac{5}{2}$，
又
∵$AB=a$，$EF⊥AB$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB · EF=\frac{1}{2}×a×\frac{5}{2}=\frac{5a}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAD=40°}$；
(2) 证明成立，DE平分$∠ADC$；
(3) $\boldsymbol{S_{△ABE}=\frac{5a}{4}}$。
【知识点】
角平分线的性质与判定，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题围绕角平分线的相关知识展开，需要熟练掌握角平分线的性质和判定的应用条件，通过作辅助线构造点到直线的距离是解决本题第二问的关键，第三问通过拆分三角形面积建立方程求解高，考查了数形结合和转化的思想。
【难度系数】
0.65

【分析】
(1) 要证$BC=DC$，可通过证明两条边所在的三角形全等求解。已知C在$∠ MAN$的角平分线上，根据角平分线的性质，可过C作AN的垂线，得到与$CE$相等的垂线段，再结合已知的$∠ ABC+∠ ADC=180°$推导等角，即可证明三角形全等得到结论。
(2) 探究三条线段的数量关系，仍可利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，先证明角平分线分成的两个直角三角形全等得到$AP=AE$，再证明$△ BCE$和$△ DCP$全等得到$BE=DP$，最后通过线段的和差转化即可得到三者的等量关系。
(3) 已知两条线段长求$BD$的长，可采用截长补短法，在$BD$上截取$BH=BG$，先证明$△ OBH$与$△ OBG$全等，再结合角平分线的性质得到$OD$平分$∠ ADB$，推导角度相等证明$△ ODH$与$△ ODF$全等，将$BD$转化为$BG$与$DF$的和即可求解。
【解析】
(1) 过点C作$CK⊥ AN$，垂足为K，则$∠ CKD= 90°$。
因为AC平分$∠ MAN$，$CE⊥ AM$，根据角平分线的性质，得$CK = CE$，且$∠ CEB = 90°$，所以$∠ CEB = ∠ CKD$。
因为$∠ ABC+∠ ADC=180°$，$∠ CDK+∠ ADC=180°$，所以$∠ ABC = ∠ CDK$，即$∠ CBE = ∠ CDK$。
在$△ BCE$和$△ DCK$中：
$\begin{cases}∠ CEB=∠ CKD \\∠ CBE=∠ CDK \\CE=CK\end{cases}$
所以$△ BCE≌△ DCK(\mathrm{AAS})$，因此$BC=DC$。
(2) 过点C作$CP⊥ AD$，垂足为P。
同(1)的推导，得$CP= CE$，$∠ CPD = ∠ CEB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACP$和$\mathrm{Rt}△ ACE$中：
$\begin{cases}AC=AC \\CP=CE\end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ACP≌\mathrm{Rt}△ ACE(\mathrm{HL})$，得$AP = AE$。
因为$∠ ABC+∠ ADC=180°$，$∠ ABC+∠ CBE=180°$，所以$∠ ADC = ∠ CBE$，即$∠ CDP = ∠ CBE$。
在$△ BCE$和$△ DCP$中：
$\begin{cases}∠ CEB=∠ CPD \\∠ CBE=∠ CDP \\CE=CP\end{cases}$
所以$△ BCE≌△ DCP(\mathrm{AAS})$，得$BE = DP$。
所以$AD=AP+DP=AE+BE$，又$AE=AB+BE$，代入得$AD=AB+BE+BE=AB+2BE$，即三者关系为$AD=AB+2BE$。
(3) 在BD上截取$BH=BG$，连接OH。
因为BF平分$∠ ABD$，所以$∠ OBG = ∠ OBH$。
在$△ OBH$和$△ OBG$中：
$\begin{cases}BH=BG \\∠ OBH=∠ OBG \\OB=OB\end{cases}$
所以$△ OBH ≌ △ OBG(\mathrm{SAS})$，得$∠ OHB = ∠ OGB$，$∠ BOH = ∠ BOG$。
因为AO平分$∠ MAN$，BO平分$∠ ABD$，所以点O到AD、AB、BD的距离相等，因此OD平分$∠ ADB$，即$∠ ODH = ∠ ODF$。
根据三角形外角的性质，$∠ OHB = ∠ ODH + ∠ DOH$，$∠ OGB = ∠ ODF + ∠ DAB$，结合$∠ OHB=∠ OGB$，$∠ ODH=∠ ODF$，可得$∠ DOH = ∠ DAB$。
已知$∠ MAN = 60°$，即$∠ DAB = 60°$，所以$∠ DOH = 60°$。
因为$∠ GOH + ∠ DOH = 180°$，所以$∠ GOH = 180°-60° = 120°$，又$∠ GOH=∠ BOG + ∠ BOH$，且$∠ BOG=∠ BOH$，所以$∠ BOG = ∠ BOH = 60°$，因此$∠ DOF=∠ BOG=60°$，即$∠ DOH=∠ DOF$。
在$△ ODH$和$△ ODF$中：
$\begin{cases}∠ DOH=∠ DOF \\OD=OD \\∠ ODH=∠ ODF\end{cases}$
所以$△ ODH ≌ △ ODF ( \mathrm{ASA} )$，得$DH = DF$。
所以$DB = DH + BH = DF + BG$，代入$BG=1$，$DF=2$，得$DB=2+1=3$。
【答案】
(1) 证明见解析，$BC=DC$成立；
(2) $AD=AB+2BE$；
(3) $\boxed{3}$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题以角平分线为背景，层层递进考查全等三角形的构造与应用，解题的关键是熟练掌握角平分线作垂线段、截长补短等常用辅助线的做法，能够利用全等三角形实现边和角的等量转化，是几何部分的常考综合题型。
【难度系数】
0.5