【分析】
要推导钝角三角形中∠B的取值范围，我们可按以下思路逐步分析：首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠C=30°，得到∠A与∠B的数量关系；再根据“大边对大角”的性质，由BC＞AC得到∠A和∠B的大小关系，得出∠B的第一个上限；最后结合钝角三角形的定义，判断出该三角形的钝角只能是∠A，推导得到∠B更严格的上限，再结合角度为正的隐含条件，即可得到最终取值范围。
【解析】
∵三角形内角和为180°，∠C=30°，
∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 150°，即$∠ A=150°-∠ B$。
∵BC＞AC，根据三角形大边对大角的性质，边BC对的内角是∠A，边AC对的内角是∠B，
∴$∠ A＞∠ B$，
代入$∠ A=150°-∠ B$可得：$150°-∠ B＞∠ B$，解得$∠ B＜75°$。
又
∵△ABC是钝角三角形，∠C=30°为锐角，若∠B为钝角，则$∠ B＞90°$，此时$∠ A=150°-∠ B＜60°$，不符合$∠ A＞∠ B$，因此该三角形的钝角只能是∠A，
∴$∠ A＞90°$，即$150°-∠ B＞90°$，解得$∠ B＜60°$。
结合角度的取值要求，$∠ B＞0°$，
综上，∠B的度数的取值范围为$0°＜∠B＜60°$。
【答案】
$0°＜∠B＜60°$
【知识点】
三角形内角和定理，大边对大角，钝角三角形定义
【点评】
本题综合考查三角形边角相关性质，解题时需注意结合多个约束条件分析，尤其要先通过大边对大角的性质判断钝角所在的内角，避免漏用钝角三角形的限制，得到$∠ B＜75°$的错误结论，能有效锻炼综合运用性质推导取值范围的能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先根据等腰三角形“两腰相等”的性质，分三种情况讨论：分别令三条边两两相等，求解对应的x值；再根据三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系，验证每组边长是否能构成三角形，舍去不符合条件的情况；最后对符合条件的三边求和得到周长。
【解析】
令三边长分别为$a=4x-2$，$b=x+1$，$c=15-6x$，分三种情况讨论：
① 若$a=b$，则$4x-2=x+1$，解得$x=1$。
此时三边长为$a=2$，$b=2$，$c=9$，由于$2+2＜9$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况；
② 若$a=c$，则$4x-2=15-6x$，解得$x=1.7$。
此时三边长为$a=4.8$，$b=2.7$，$c=4.8$，由于$4.8+2.7＞4.8$，满足三角形三边关系，可构成三角形，周长为$4.8+2.7+4.8=12.3$；
③ 若$b=c$，则$x+1=15-6x$，解得$x=2$。
此时三边长为$a=6$，$b=3$，$c=3$，由于$3+3=6$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，该等腰三角形的周长为12.3。
【答案】
12.3
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形和三角形三边关系的综合应用题，解题的关键是要对腰长进行分类讨论，易错点是求出边长后忽略验证三边是否能构成三角形，导致得到错误的多解结果，解题时要养成验证三边关系的习惯。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题已知三角形周长以及三边长的两组差的关系，解题思路如下：首先根据给出的边长差的等式，将b和c都用含a的代数式表示；再利用三角形周长等于三边之和的公式，将三边代入周长公式，得到只含有a的一元一次方程；求解出a的值后，再分别代入b、c关于a的代数式，即可求出b、c的值。
【解析】
解：由题意可知：
∵ $a-b=28$，$c-a=4$
∴ $b=a-28$，$c=a+4$
∵ $△ ABC$的周长为120，即三边和满足$a+b+c=120$
将$b=a-28$、$c=a+4$代入周长公式得：
$a+(a-28)+(a+4)=120$
合并同类项得：$3a-24=120$
移项计算得：$3a=144$，解得$a=48$
将$a=48$代入$b=a-28$得$b=48-28=20$
代入$c=a+4$得$c=48+4=52$
【答案】
$a=48$，$b=20$，$c=52$
【知识点】
三角形周长公式、代入消元法、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等量代换思想的应用，解题的关键是将多个未知量统一用同一个未知量表示，结合周长公式转化为一元一次方程求解，计算量小，解题思路清晰，掌握基础的方程求解方法即可得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题属于新定义类题型，解题时首先要准确理解“倍长三角形”的含义，即三角形中存在两边满足一边长是另一边长的2倍。解题思路为：第一步，设第三条边长为x，先根据三角形三边关系求出x的取值范围；第二步，分类讨论所有满足“倍长三角形”的可能情况，逐一验证是否符合x的取值范围，舍去不符合的结果，最终得到正确答案。
【解析】
设△ABC第三条边的长是x。
已知△ABC的两边长分别为4和6，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得：$6-4＜x＜6+4$，即$2＜x＜10$。
结合“倍长三角形”的定义，分类讨论如下：
① 若$2x=4$，则$x=2$，不满足$2＜x＜10$，舍去；
② 若$2x=6$，则$x=3$，满足$2＜3＜10$，符合要求；
③ 若$x=2×4$，则$x=8$，满足$2＜8＜10$，符合要求；
④ 若$x=2×6$，则$x=12$，不满足$2＜x＜10$，舍去。
综上，△ABC第三条边的长为3或8。
【答案】
3或8
【知识点】
三角形三边关系；新定义理解；分类讨论
【点评】
本题将新定义与三角形三边关系结合考查，解题关键是做到分类不重不漏，同时要注意所有情况都需要满足三角形三边的取值限制，避免出现增解或者漏解的错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先明确题目给出的三个限制条件：三边长均为正整数、仅有一条边长为5、5不是最短边，由此可确定5只能是最长边或第二长边，我们按这两类分别讨论，每一类都结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”列举符合要求的边长组合，注意不要重复、不要遗漏，最后将两类的符合条件的三角形个数相加即可得到结果。
【解析】
根据题意分两类讨论：
① 当5是最长边的长时：另外两条边的长均小于5（满足5不是最短边，且仅有一条边为5），且需满足两边之和大于5，符合条件的三边长组合为：3,4,5；4,4,5；3,3,5；2,4,5，共4种；
② 当5是第二长边的长时：最短边的长小于5，最长边的长大于5，且需满足“最短边长度+5＞最长边长度”的三边关系，符合条件的三边长组合为：2,5,6；3,5,6；3,5,7；4,5,6；4,5,7；4,5,8，共6种。
综上，满足条件的三角形总个数为$4+6=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查三角形三边关系的灵活运用，解题关键是根据限定条件合理划分讨论类别，解题时需注意避免重复计数或遗漏符合条件的组合，易错点是忽略“仅有一条边长为5”的限制导致多算。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）首先判断三边长的大小，可知$x+4$是最长边，根据“较短两条线段之和大于最长线段即可构成三角形”的结论，只需列不等式求解，同时保证各边长为正即可得到x的取值范围。
（2）设最短边长为x，则另一边长为$x+3$，已知最长边为10，根据三边关系列不等式，结合边长为正整数的条件，即可求出最短边的最小值。
（3）设$AB=AC=x$，需同时满足两个条件：一是三角形三边关系（两腰之和大于底边），二是周长不大于30，联立两个不等式求解即可得到AB的取值范围。
【解析】
(1) 由三边长可知$x+4 ＞ x-1 ＞ x-2$，最长边为$x+4$。
根据三角形三边关系得：
$x-2 + x-1 ＞ x+4$
整理得$2x-3 ＞ x+4$，解得$x＞7$，此时三边长均为正数，符合要求。
(2) 设最短边长为$x$，则另一边长为$x+3$，已知最长边为10。
根据三边关系得：
$x + x + 3 ＞ 10$
解得$x ＞ \frac{7}{2}$，又因为边长为整数，且$x+3 ≤ 10$保证10为最长边，故x可取的最小正整数为4。
(3) 设$AB=x$，由$AB=AC$得$AC=x$，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}2x ＞ 10 \\ 2x + 10 ≤ 30 \end{cases}$
解第一个不等式得$x＞5$，解第二个不等式得$x≤10$，联立得$5 ＜ x ≤ 10$。
【答案】
(1) $x ＞ 7$
(2) $4$
(3) $5 ＜ AB ≤ 10$
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式（组）应用；等腰三角形性质
【点评】
本题围绕三角形三边关系考查不等式的应用，解题核心是先确定最长边，利用“较短两边之和大于最长边”简化计算，同时要注意边长为正、整数、周长限制等隐含条件，对逻辑分析能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7