【分析】
首先理解“类勾股三角形”的新定义，再结合等腰三角形AC=BC、AB＞AC的条件，先明确边长的大小关系：AB是最长边，对应定义中的c，两条相等的腰AC、BC对应公式中的a和b；接着设腰长为参数代入定义式求出AB的长度，再用勾股定理逆定理判断三角形的形状，最后结合等腰三角形的性质计算∠A的度数。
【解析】
解：
∵等腰△ABC中，AC=BC，AB＞AC，
∴AB为最长边，AC、BC是长度相等的腰，设AC=BC=m。
∵△ABC是“类勾股三角形”，满足$ab+a^2=c^2$，最长边对应公式中的c，即$c=AB$，取$a=AC=m$，$b=BC=m$，代入定义式得：
$m·m + m^2 = AB^2$，即$AB^2=2m^2$，
∵边长为正数，
∴$AB=\sqrt{2}m$。
验证可得：$AC^2 + BC^2 = m^2 + m^2 = 2m^2 = AB^2$，根据勾股定理逆定理可知$∠ ACB=90°$。
又
∵AC=BC，
∴$∠ A=∠ B$，
结合三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A=(180° - 90°)÷2=45°$。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，等腰三角形性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题将新定义与三角形基础知识结合，解题的关键是根据边长大小关系准确对应新定义公式中的参数，再结合已学的三角形性质求解，注重考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要准确理解“相关函数”的新定义，第一步先根据定义写出一次函数$y=-2x+3$对应的相关函数，它是分段函数，分$x＜0$和$x≥0$两种情况对应不同的解析式。已知点$B(t,-4)$在相关函数图象上，说明点的坐标满足函数解析式，此时需要分$t＜0$和$t≥0$两种情况，分别代入对应段的解析式列方程求解，最后检验所求的$t$是否符合对应取值范围即可得到结果。
【解析】
根据“相关函数”的定义，可得一次函数$y=-2x+3$的相关函数为：
$y=\begin{cases}2x-3&(x＜0)\\-2x+3&(x≥0)\end{cases}$
∵点$B(t,-4)$在该相关函数的图象上，因此分两种情况讨论：
①当$t＜0$时，将$(t,-4)$代入$y=2x-3$，得：
$2t-3=-4$
解得$t=-0.5$，符合$t＜0$的要求；
②当$t≥0$时，将$(t,-4)$代入$y=-2x+3$，得：
$-2t+3=-4$
解得$t=3.5$，符合$t≥0$的要求。
综上，$t$的值为$-0.5$或$3.5$。
【答案】
$-0.5$或$3.5$
【知识点】
新定义运算，分段函数，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是新定义类的函数问题，解题核心是正确理解新定义的规则，写出对应的分段函数解析式，结合分类讨论思想代入点的坐标求解，需要注意所得的解必须符合对应分段的自变量取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先理解“智慧线”的定义，可得$ CD=\frac{1}{2}AB $，要求$ AD $的长度，需先求出$ AB $的总长及$ AB $边上相关线段的长度。我们可以过点$ C $作$ CE⊥ AB $构造直角三角形，先利用等腰直角三角形的性质求出$ CE $、$ BE $的长度，再用勾股定理求出$ AE $的长度，即可得到$ AB $总长，进而得到$ CD $的长度；再次利用勾股定理求出$ DE $的长度，最后分点$ D $在$ AE $上、点$ D $在$ BE $上两种情况计算$ AD $的长度即可。
【解析】
解：过点$ C $作$ CE ⊥ AB $于点$ E $，则$ ∠ CEB = ∠ CEA = 90° $。
1. 在$ \mathrm{Rt}△ BCE $中，$ ∠ B = 45° $，所以$ ∠ ECB = ∠ B = 45° $，即$ △ BCE $是等腰直角三角形，故$ CE = BE $。
设$ CE = BE = x $，由勾股定理得$ BE^2 + CE^2 = BC^2 $，代入$ BC = \sqrt{72} $得：
$ x^2 + x^2 = (\sqrt{72})^2 $，即$ 2x^2 = 72 $，解得$ x = 6 $（负值舍去），所以$ CE = BE = 6 $。
2. 在$ \mathrm{Rt}△ ACE $中，$ AC = 10 $，$ CE = 6 $，由勾股定理得：
$ AE = \sqrt{AC^2 - CE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8 $。
所以$ AB = AE + BE = 8 + 6 = 14 $。
3. 因为$ CD $是$ AB $的“智慧线”，所以$ CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 14 = 7 $。
在$ \mathrm{Rt}△ CDE $中，由勾股定理得：
$ DE = \sqrt{CD^2 - CE^2} = \sqrt{7^2 - 6^2} = \sqrt{13} $。
4. 分两种情况讨论：
当点$ D $在$ AE $上时，$ AD = AE - DE = 8 - \sqrt{13} $；
当点$ D $在$ BE $上时，$ AD = AE + DE = 8 + \sqrt{13} $。
【答案】
$ 8+\sqrt{13} $或$ 8-\sqrt{13} $
【知识点】
新定义运算，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合新定义考查了直角三角形的相关计算，解题的关键是作高构造直角三角形，同时要注意分类讨论点$ D $的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“m-周长点”的含义：若点P坐标为(x,y)，则其与坐标轴围成的长方形周长为$2(|x|+|y|)=m$，满足该等式的点就是“m-周长点”。
(1) 只需将点的坐标代入周长公式计算，和给定的m比较即可判断；
(2) 第一象限内$x＞0$、$y＞0$，可去掉绝对值，结合周长为4整理得到y与x的关系式，同时注意x的取值范围；
(3) 先分别推导不同象限内“4-周长点”和“6-周长点”对应的直线解析式，根据直线斜率的关系判断两直线的位置关系；
(4) 先利用$△ OAP$的面积求出点P横坐标的绝对值，再结合点P在一次函数图象上、是“6-周长点”、位于x轴上方三个条件，分类讨论计算n的值，注意舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) 对于点$M(2,2)$，围成长方形的周长为$2×(2+2)=8$，符合“8-周长点”的定义，故是；对于点$N(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，围成长方形的周长为$2×(\frac{1}{2}+\frac{5}{2})=6≠5$，故不是“5-周长点”。
(2) $\because$点$P(x,y)$在第一象限，$\therefore x＞0$，$y＞0$，
$\because$点P是“4-周长点”，$\therefore 2(x+y)=4$，整理得$x+y=2$，
$\therefore y$关于x的函数表达式为$y=-x+2(0＜x＜2)$。
(3) 设“4-周长点”坐标为$(x,y)$，则$2(|x|+|y|)=4$，即$|x|+|y|=2$：
当$x＞0,y＞0$时，解析式为$y=-x+2$；$x＞0,y＜0$时，解析式为$y=x-2$；$x＜0,y＞0$时，解析式为$y=x+2$；$x＜0,y＜0$时，解析式为$y=-x-2$。同象限的两点确定的直线斜率为1或-1。
同理，“6-周长点”满足$|x|+|y|=3$，同象限两点确定的直线解析式为$y=-x+3$、$y=x-3$、$y=x+3$、$y=-x-3$，斜率为1或-1。
当两直线斜率相同时平行，斜率分别为1和-1时乘积为-1，互相垂直；因常数项不同不可能是同一条直线，斜率只有$\pm1$，不可能相交但不垂直，故选①②。
(4) 设点P的坐标为$(m,2m+n)$，
$\because A(0,8)$，$△ OAP$的面积为8，$\therefore S_{△ OAP}=\frac{1}{2}× OA×|m|=\frac{1}{2}×8×|m|=8$，解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
$\because$点P是“6-周长点”，且在x轴上方，$\therefore 2m+n＞0$，$2(|m|+|2m+n|)=6$。
①当$m=2$时，代入得$2(2+|4+n|)=6$，解得$|4+n|=1$，即$n=-3$或$n=-5$，
又$\because 2m+n=4+n＞0$，$\therefore n=-5$舍去，得$n=-3$；
②当$m=-2$时，代入得$2(2+|n-4|)=6$，解得$|n-4|=1$，即$n=5$或$n=3$，
又$\because 2m+n=-4+n＞0$，$\therefore n=3$舍去，得$n=5$。
综上，n的值为-3或5。
【答案】
(1) 是；不是
(2) $y=-x+2(0＜x＜2)$
(3) ①②
(4) $n=-3$或$n=5$
【知识点】
新定义问题，一次函数的性质，坐标系图形计算
【点评】
本题以新定义为载体，综合考察了一次函数、平面直角坐标系中的几何计算、分类讨论思想，解题的关键是先准确把握“m-周长点”的定义，再结合已知条件逐步推导，第三问的直线位置关系判断和第四问的分类讨论是易错点，要注意舍去不符合位置要求的解。
【难度系数】
0.6