1.(2024·海安月考)【探索与解决】
如图①,点A,O,B在同一条直线上,射线OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)写出与∠AOD互余的角是
∠COE,∠BOE
;
(2)写出与∠AOD互补的角是
∠BOD
;
(3)∠DOE的度数是多少?请简单写出理由.
【拓展与延伸】
如图②,点A,O,B不在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.
请你直接写出∠DOE与∠AOB的数量关系.
答案：(1)∠COE,∠BOE
(2)∠BOD
(3)解:∠DOE=90°.理由:因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,
所以∠COD=∠AOD=1/2∠AOC,∠COE=∠BOE=1/2∠BOC,
所以∠COD + ∠COE = 1/2 ∠AOC + 1/2 ∠BOC = 1/2(∠AOC+∠BOC)=1/2×180°=90°,
所以∠DOE=90°.
【拓展与延伸】解:因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,
所以∠COD=∠AOD=1/2∠AOC,∠COE=∠BOE=1/2∠BOC,
所以∠COD + ∠COE = 1/2 ∠AOC + 1/2 ∠BOC = 1/2∠AOB,即∠DOE=1/2∠AOB.
2. 如图,点 O 在直线 AB 上,OC⊥AB. 在三角形 ODE 中,∠ODE=90°,∠DOE=30°,先将三角形 ODE 的一边 OE 与 OC 重合,如图①,然后将三角形 ODE 绕点 O 按顺时针方向旋转,如图②,当 OE 与 OB 重合时停止旋转.
(1)当∠AOD=80°时,旋转角∠COE 的度数为
20°
;
(2)当 OD 在 OC 与 OB 之间时,求∠AOD−∠COE 的度数;
(3)在三角形 ODE 的旋转过程中,当∠AOE=4∠COD 时,求旋转角∠COE 的度数.
答案：(1)20°
(2)解:∠AOD−∠COE=(∠AOC+∠COD)−(∠COD+∠DOE)=∠AOC+∠COD−∠COD−∠DOE=∠AOC−∠DOE=90°−30°=60°.
(3)解:设∠COE=x,
当OD在OA与OC之间时,∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+x,∠COD=30°−x,
由题意,得90°+x=4(30°−x),解得x=6°;
当OD在OC与OB之间时,∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+x,∠COD=x−30°,
由题意,得90°+x=4(x−30°),解得x=70°.
综上所述,当∠AOE=4∠COD时,旋转角∠COE的度数为6°或70°.
