1. 如图,以 BC 所在的直线为轴,将长方形 ABCD 旋转一周,可以形成一个圆柱,它的底面积是(
50.24
)cm²。以 AB 所在的直线为轴,将直角三角形 ABC 旋转一周,可以形成一个圆锥,它的体积是(
37.68
)cm³。
答案：1. 50.24 37.68
解析：
以 BC 所在的直线为轴旋转长方形 ABCD 形成圆柱，底面半径为 AB 的长度 4cm，底面积为$\pi r^2 = 3.14×4^2 = 50.24$cm²。
以 AB 所在的直线为轴旋转直角三角形 ABC 形成圆锥，底面半径为 BC 的长度 3cm，高为 AB 的长度 4cm，体积为$\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}×3.14×3^2×4 = 37.68$cm³。
50.24；37.68
2. 把一根长 72 厘米的铁丝围成一个正方体框架,外面糊上彩纸,彩纸的面积是(
216
)平方厘米;若用这根铁丝围成一个长、宽、高的比是 3:2:1 的长方体,则这个长方体的体积是(
162
)立方厘米。
答案：2. 216 162 解析：根据题意可知，铁丝的长度就是正方体框架的棱长总和，用棱长总和除以12，就可以得知这个正方体框架一条棱的长度，即可求出正方体的表面积。同样72厘米也是长方体框架的棱长总和，根据长、宽、高的比即可求出长方体的长、宽、高，进而求出长方体的体积。
解析：
正方体：
棱长：$72÷12 = 6$（厘米）
表面积：$6×6×6 = 216$（平方厘米）
长方体：
长、宽、高的和：$72÷4 = 18$（厘米）
总份数：$3 + 2 + 1 = 6$
长：$18×\frac{3}{6}=9$（厘米）
宽：$18×\frac{2}{6}=6$（厘米）
高：$18×\frac{1}{6}=3$（厘米）
体积：$9×6×3 = 162$（立方厘米）
216；162
3. 新素养 几何直观 萍萍把如图所示的木质模型表面涂上颜色,正好可以将它分割成 24 个棱长是 1 厘米的小正方体,则三个面涂色的小正方体有(
7
)个,两个面涂色的小正方体有(
11
)个,一个面涂色的小正方体有(
3
)个。
答案：3. 7 11 3
4. “小老鼠,上灯台,偷油吃,下不来。”有一个圆锥形容器装满了 2000 毫升香油,小老鼠偷偷在容器的正中间咬了一个洞偷油吃,一直到油面与洞口平齐为止(如图),此时油面直径是容器底面直径的$\frac{1}{2}$。(容器厚度忽略不计)
(1)油面的半径与容器底面半径的比是(
1:2
);油面的高度与容器高度的比是(
1:2
);剩余香油的体积与容器容积的比是(
1:8
)。
(2)小老鼠共偷吃了(
1750
)毫升香油。
答案：4. (1)1:2 1:2 1:8 解析：根据“油面直径是容器底面直径的$\frac{1}{2}”$可知，油面的直径与容器底面直径的比是1:2，则油面的半径与容器底面半径的比是1:2。因为小老鼠是在容器的正中间咬了一个洞，现在油面与洞口平齐，所以油面的高度与容器高度的比是1:2。根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$可知，剩余香油的体积与容器容积的比是$(\frac{1}{3}\pi × 1^{2}× h):(\frac{1}{3}\pi × 2^{2}× 2h)=1:8。$
(2)1750
1. 一个正方体相对的面分别是 1 点和 2 点、3 点和 4 点、5 点和 6 点。游戏规则:在方格棋盘上沿棱按照箭头方向滚动正方体,每次不能后退。开始时正方体按如左下图所示的方式摆放,最后滚动到如右下图所示的位置,此时正方体朝上的点数是(
A
)。
A.1
B.5
C.3
D.4
答案：1. A
2. 四个杯中均装有一定量的开水,如果把 50 g 糖溶入水中,那么含糖率最高的是(
D
)。
答案：2. D
解析：
要比较含糖率，需比较各容器的容积，容积越小，含糖率越高。
A. 圆锥
底面直径$6\,\mathrm{cm}$，半径$r=3\,\mathrm{cm}$，高$h=9\,\mathrm{cm}$。
容积$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi×3^2×9=27\pi\,\mathrm{cm}^3$。
B. 长方体
长$4\,\mathrm{cm}$，宽$4\,\mathrm{cm}$，高$6\,\mathrm{cm}$。
容积$V_{\mathrm{长方体}}=4×4×6=96\,\mathrm{cm}^3$。
C. 正方体
棱长$6\,\mathrm{cm}$。
容积$V_{\mathrm{正方体}}=6×6×6=216\,\mathrm{cm}^3$。
D. 圆柱
底面直径$4\,\mathrm{cm}$，半径$r=2\,\mathrm{cm}$，高$h=6\,\mathrm{cm}$。
容积$V_{\mathrm{圆柱}}=\pi r^2h=\pi×2^2×6=24\pi\,\mathrm{cm}^3$（$\approx75.36\,\mathrm{cm}^3$）。
容积比较：$24\pi ＜ 27\pi ＜ 96 ＜ 216$，D的容积最小。
结论：含糖率最高的是D。
D
