答案：
27. (1) 证明：$ \because E F ⊥ B E $，$ \therefore ∠ B E F = 90 ^ { \circ } $
$ \therefore ∠ B E C _ { 1 } + ∠ F E C _ { 1 } = ∠ A E B + ∠ C E F = 90 ^ { \circ } $
$ \because $ 将 $ △ E F C $ 沿着 $ E F $ 翻折得到 $ △ E F C _ { 1 } $
$ \therefore ∠ F E C _ { 1 } = ∠ C E F $，$ \therefore ∠ A E B = ∠ B E C _ { 1 } $
(2) 解：设 $ E C _ { 1 } $ 交 $ B C $ 于点 $ K $，如答图①

$ \because C _ { 1 } F // A B $，$ \therefore ∠ A B C = ∠ B F C _ { 1 } $
$ \because △ E F C $ 沿着 $ E F $ 翻折得到 $ △ E F C _ { 1 } $
$ \therefore ∠ E C _ { 1 } F = ∠ E C F $
$ \because A C ⊥ A B $，$ \therefore ∠ B A C = 90 ^ { \circ } $
$ \therefore ∠ A B C + ∠ E C F = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ B F C _ { 1 } + ∠ E C _ { 1 } F = 90 ^ { \circ } $
$ \therefore ∠ F K C _ { 1 } = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ B K E = 90 ^ { \circ } = ∠ B A E $
由 (1) 可知 $ ∠ A E B = ∠ B E C _ { 1 } $
又 $ B E = B E $，$ \therefore △ B A E ≌ △ B K E ( \mathrm { AAS } ) $
$ \therefore A B = B K = 6 $，$ A E = K E $
$ \therefore C K = B C - B K = 10 - 6 = 4 $
设 $ A E = K E = m $，$ A C = \sqrt { B C ^ { 2 } - A B ^ { 2 } } = \sqrt { 10 ^ { 2 } - 6 ^ { 2 } } = 8 $
则 $ C E = A C - A E = 8 - m $
$ \because K E ^ { 2 } + C K ^ { 2 } = C E ^ { 2 } $，$ \therefore m ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 8 - m ) ^ { 2 } $
解得 $ m = 3 $，$ \therefore A E = K E = 3 $，$ C E = 8 - m = 8 - 3 = 5 $
$ \therefore C _ { 1 } E = C E = 5 $，$ \therefore C _ { 1 } K = C E - K E = 5 - 3 = 2 $
设 $ F K = n $，则 $ C F = C K - F K = 4 - n = C _ { 1 } F $
$ \because F K ^ { 2 } + C _ { 1 } K ^ { 2 } = C _ { 1 } F ^ { 2 } $
$ \therefore n ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = ( 4 - n ) ^ { 2 } $，解得 $ n = \frac { 3 } { 2 } $
$ \therefore F K = \frac { 3 } { 2 } $，$ \therefore E F = \sqrt { F K ^ { 2 } + K E ^ { 2 } } = \sqrt { ( \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 } $，$ \therefore $ 折痕 $ E F $ 的长为 $ \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 } $
(3) 解：当 $ B E = B C _ { 1 } $ 时，过点 $ B $ 作 $ B T ⊥ C _ { 1 } E $ 于点 $ T $，如答图②

设 $ A E = x $，由 (1) 可知 $ ∠ A E B = ∠ B E C _ { 1 } $
又 $ B E = B E $，$ ∠ B A E = ∠ B T E $
$ \therefore △ B A E ≌ △ B T E ( \mathrm { AAS } ) $，设 $ A E = E T = x $
$ \because B E = B C _ { 1 } $，$ B T ⊥ C _ { 1 } E $
$ \therefore C _ { 1 } T = E T = x $，$ \therefore C E = C _ { 1 } E = 2 x $
$ \because A C = A E + C E $，$ \therefore 8 = x + 2 x $
解得 $ x = \frac { 8 } { 3 } $，即 $ A E = \frac { 8 } { 3 } $
当 $ B E = E C _ { 1 } $ 时，如答图③

设 $ A E = y $，则 $ B E = \sqrt { A E ^ { 2 } + A B ^ { 2 } } = \sqrt { y ^ { 2 } + 36 } $
$ \therefore E C _ { 1 } = \sqrt { y ^ { 2 } + 36 } = E C $
$ \because A E + C E = A C $，$ \therefore y + \sqrt { y ^ { 2 } + 36 } = 8 $，解得 $ y = \frac { 7 } { 4 } $，即 $ A E = \frac { 7 } { 4 } $
$ \because $ 点 $ E $ 在对角线 $ A C $ 上，$ \therefore B C _ { 1 } ＞ E C _ { 1 } $
综上所述，$ A E $ 的长为 $ \frac { 8 } { 3 } $ 或 $ \frac { 7 } { 4 } $