8. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，将$△ BCD$沿对角线BD折叠得到$△ BED$，BE交AD于点O，BE恰好平分$∠ ABD$，若$AB=\sqrt{3}$，则点O到BD的距离为(
C
)
A.$\sqrt{3}$
B.2
C.1
D.3
答案：8. C
解析：
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°，AD=BC，AB=CD=$\sqrt{3}$．
∵△BCD沿BD折叠得到△BED，
∴∠EBD=∠CBD，BE=BC=AD，DE=CD=AB=$\sqrt{3}$．
∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD=∠ABO，
∴∠ABO=∠OBD=∠CBD．
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABO=∠OBD=∠ADB．
设∠ABO=∠OBD=∠ADB=α，
在Rt△ABD中，∠ABD+∠ADB=90°，即2α+α=90°，解得α=30°．
∴∠ABD=60°，∠ADB=30°，
∴BD=2AB=2$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{BD^2-AB^2}$=3．
设AO=x，则OD=AD-AO=3-x．
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，
∴BO=2AO=2x，AB=$\sqrt{BO^2-AO^2}$=$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，解得x=1，
∴AO=1，OD=2，BO=2．
设点O到BD的距离为h，
∵S△OBD=$\frac{1}{2}$OD·AB=$\frac{1}{2}$BD·h，
即$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$·h，解得h=1．
答案：C
二、填空题(每小题3分，共24分)
9. 二次根式$\sqrt{2+x}$有意义，则x的取值范围是
$x ≥ - 2 $
。
答案：9. $x ≥ - 2 $
10. 计算：$\frac{3}{a}+\frac{a-15}{5a}=$
$ \frac { 1 } { 5 } $
。
答案：10. $ \frac { 1 } { 5 } $
解析：
$\frac{3}{a}+\frac{a-15}{5a}=\frac{15}{5a}+\frac{a-15}{5a}=\frac{15+a-15}{5a}=\frac{a}{5a}=\frac{1}{5}$
11. 若代数式$x^2+4$的值与$-5x$的值相等，则$x=$
$ - 1 $ 或 $ - 4 $
。
答案：11. $ - 1 $ 或 $ - 4 $
解析：
由题意得：$x^2 + 4 = -5x$
移项得：$x^2 + 5x + 4 = 0$
因式分解得：$(x + 1)(x + 4) = 0$
则$x + 1 = 0$或$x + 4 = 0$
解得$x = -1$或$x = -4$
$-1$或$-4$
12. 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，设平均每月利润增长的百分率为x，则可列方程为
$ 2500 ( 1 + x ) ^ { 2 } = 3600 $
。
答案：12. $ 2500 ( 1 + x ) ^ { 2 } = 3600 $
13. 如图，A，B两地被建筑物遮挡，为测量A，B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若DE的长为36m，则A，B两地的距离为
72
m。
答案：13. 72
解析：
解：
∵D，E分别是CA，CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=36m，
∴AB=2×36=72m。
72
14. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE，$OE=2.5$，$DB=6$，则AC的长为
8
。
答案：14. 8
解析：
解：
∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC。
∵DB=6，
∴BO=3。
∵E是AB的中点，
∴OE是Rt△AOB斜边上的中线，
∴AB=2OE。
∵OE=2.5，
∴AB=5。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO=$\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴AC=2AO=8。
15. 如图，在矩形ABCD中，$AB=2$，$AD=3$，E是边AD上的动点，点F在边CD上，$CF=DE$。连接AF，CE，则$AF+CE$的最小值为
$ \sqrt { 29 } $
。
答案：15. $ \sqrt { 29 } $
解析：
解：设 $ DE = CF = x $，则 $ AE = 3 - x $，$ DF = 2 - x $。
在 $ Rt△ ADF $ 中，$ AF = \sqrt{AD^2 + DF^2} = \sqrt{3^2 + (2 - x)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} $。
在 $ Rt△ CDE $ 中，$ CE = \sqrt{DE^2 + CD^2} = \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4} $。
作点 $ M(0,2) $，点 $ N(2,3) $，则 $ AF + CE = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 3)^2} + \sqrt{(x - 0)^2 + (2 - 0)^2} $，即转化为点 $ (x,0) $ 到点 $ N(2,3) $ 与点 $ M(0,2) $ 的距离之和。
作点 $ M(0,2) $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ M'(0,-2) $，则 $ AF + CE $ 的最小值为 $ M'N $ 的长。
$ M'N = \sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} $。
故 $ AF + CE $ 的最小值为 $ \sqrt{29} $。
16. 如图，将$□ ABCD$绕点A逆时针旋转到$□ AB'C'D'$的位置，使点$B'$落在BC上，$B'C'$与CD交于点E，若$AB=3$，$BC=4$，$BB'=1$，则DE的长为
$ \frac { 15 } { 8 } $
。
答案：16. $ \frac { 15 } { 8 } $
三、解答题（共102分）
17. （8分）计算：
（1）$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$；
（2）$(3+2\sqrt{5})^2$。
答案：17. 解：(1) 原式 $ = \sqrt { 16 } - \sqrt { 6 } + 2 \sqrt { 6 } = 4 - \sqrt { 6 } + 2 \sqrt { 6 } = 4 + \sqrt { 6 } $
(2) 原式 $ = 9 + 12 \sqrt { 5 } + 20 = 29 + 12 \sqrt { 5 } $
