1. 当 $x＞0$ 时，$x+\frac{1}{x}$ 的最小值为
2
；当 $x＜0$ 时，$x+\frac{1}{x}$ 的最大值为
-2
。
答案：1. 2 -2
解析：
当$x＞0$时，$x+\frac{1}{x} ≥ 2\sqrt{x · \frac{1}{x}} = 2$，当且仅当$x = \frac{1}{x}$，即$x = 1$时等号成立，所以最小值为$2$；
当$x＜0$时，令$t=-x$，则$t＞0$，$x+\frac{1}{x}=-t - \frac{1}{t}=-(t + \frac{1}{t})$，因为$t+\frac{1}{t} ≥ 2\sqrt{t · \frac{1}{t}} = 2$，所以$-(t + \frac{1}{t}) ≤ -2$，当且仅当$t = \frac{1}{t}$，即$t = 1$，$x=-1$时等号成立，所以最大值为$-2$。
2；-2
2. 当 $x＞0$ 时，求 $y=\frac{x^{2}+3x + 16}{x}$ 的最小值。
答案：2. 解：$y=\frac{x^{2}+3x+16}{x}=x+\frac{16}{x}+3$，
∵$x＞0$，
∴$x+\frac{16}{x}+3≥ 2\sqrt{x· \frac{16}{x}}+3=11$，
∴当$x=4$时，$y$的最小值为11.
3. 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$，$△ AOB,△ COD$ 的面积分别为 9 和 16，求四边形 $ABCD$ 面积的最小值。
答案：3. 解：设$S_{△ BOC}=x$，已知$S_{△ AOB}=9$，$S_{△ COD}=16$，
则由等高三角形的性质可知，$\frac{S_{△ BOC}}{S_{△ COD}}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}=\frac{BO}{DO}$，
∴$\frac{x}{16}=\frac{9}{S_{△ AOD}}$，
∴$S_{△ AOD}=\frac{144}{x}$，
∴四边形$ABCD$的面积为$16+9+x+\frac{144}{x}≥ 25+2\sqrt{x· \frac{144}{x}}=49$，
当且仅当$x=12$时取等号，即四边形$ABCD$面积的最小值为49.
4.(2024·建邺区期末)【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘
【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律。
【项目素材】
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点。
素材二：设物距为 $u$，像距为 $v$，焦距为 $f$，小明在研究的过程中发现了物距 $u$，像距 $v$ 和焦距 $f$ 之间在成实像时存在着关系：$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$。
【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明先取物距 $u = 1.5f$，然后画出光路图(如图①)，其中 $AB$ 为物体，$O$ 为凸透镜 $MN$ 的中心，入射光线 $AC//$ 主光轴，折射光线 $CA'$ 经过焦点 $C'$，$A'B'$ 为 $AB$ 所成的像。根据光路图①可知，当 $u = 1.5f$ 时，物体经凸透镜折射后成
放大
(填“放大”或“缩小”或“等大”)的倒立实像。
(2)小明又取物距 $u = 2f$。
①当 $u = 2f$ 时，$v=$
2f
；(用含 $f$ 的代数式表示)
②当 $u = 2f$ 时，物体经凸透镜折射后成
等大
(填“放大”或“缩小”或“等大”)的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释。
(3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距 $f$ 为定值。当 $u＞f$ 时，请解答下列问题：
①请直接写出 $v$ 与 $u$ 之间的函数表达式，并在图③中画出函数 $v$ 的图象；
②试说明：$u + v≥ 4f$。
答案：4. (1) 放大
(2) ①$2f$ 点拨：
∵$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，
∴$\frac{1}{2f}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，
∴$v=2f$.
②解：等大 如答图①.
理由：
∵$u=2f$，$v=2f$，
∴$u=v$，即$BO=B'O$.
∵$AB⊥ BB'$，$A'B'⊥ BB'$，
∴$∠ ABO=∠ A'B'O=90^{\circ}$.
∵$∠ AOB=∠ A'OB'$，
∴$△ AOB≌ △ A'OB'(ASA)$，
∴$AB=A'B'$，
∴$u=2f$时，成等大的像.
(3) 解：①$v=\frac{uf}{u-f}$.
列表：
u ... $\frac{4}{3}f$ $\frac{3}{2}f$ 2f 3f 4f ...
v ... 4f 3f 2f $\frac{3}{2}f$ $\frac{4}{3}f$ ...
描点、连线，如答图②所示.
②由$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$得$\frac{u+v}{uv}=\frac{1}{f}$，
∴$f=\frac{uv}{u+v}$，
∴$u+v-4f=u+v-\frac{4uv}{u+v}=\frac{(u-v)^{2}}{u+v}≥ 0$，
∴$u+v≥ 4f$.
