1. 如图, 有一张平行四边形纸片 $ABCD$, $AB = 5$, $AD = 7$, 将这张纸片折叠, 使得点 $B$ 落在边 $AD$ 上的点 $B'$ 处, 折痕为 $EF$, 若点 $E$ 在边 $AB$ 上, 则 $DB'$ 长的最小值等于
2
.
答案：1. 2
解析：
解：设 $ AE = x $，则 $ EB = EB' = 5 - x $。
在 $ △ AEB' $ 中，由三角形三边关系得：$ EB' + AE ≥ AB' $，即 $ (5 - x) + x ≥ AB' $，所以 $ AB' ≤ 5 $。
因为 $ AD = 7 $，所以 $ DB' = AD - AB' ≥ 7 - 5 = 2 $。
当点 $ A $，$ E $，$ B' $ 共线时，$ AB' = 5 $，此时 $ DB' $ 取最小值 $ 2 $。
故 $ DB' $ 长的最小值等于 $ 2 $。
2. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, $AB = 4\sqrt{2}$, $BC = 10$, $∠ A = 45^{\circ}$, $E$ 是边 $AD$ 上一动点, 将 $△ AEB$ 沿直线 $BE$ 折叠, 得到 $△ FEB$, 设 $BF$ 与 $AD$ 交于点 $M$, 当 $BF$ 与 $□ ABCD$ 的一边垂直时, $DM$ 的长为
2.2或6
.
答案：2. 2.2或6
3. (2024·无锡新吴区) 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 2$, $BC = 4$, $O$, $P$ 分别是边 $AB$, $AD$ 的中点, $H$ 是边 $CD$ 上的一个动点, 连接 $OH$, 将四边形 $OBCH$ 沿 $OH$ 折叠, 得到四边形 $OFEH$, 连接 $PE$, 则 $PE$ 长的最小值是
$\sqrt{17}-\sqrt{5}$
.
答案：3. $\sqrt{17}-\sqrt{5}$
4. 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 5$, $BC = 4$.
(1) 如图, $P$ 为 $BC$ 边上一点, 将 $△ APB$ 沿直线 $AP$ 翻折至 $△ APQ$ 的位置, 当点 $Q$ 落在 $CD$ 边上时, $DQ$ 的长为
3
；
(2) $M$ 是射线 $AB$ 上的一个动点, 将 $△ ADM$ 沿 $DM$ 翻折, 其中点 $A$ 的对称点为 $A'$, 当 $A'$, $M$, $C$ 三点在同一条直线上时, 求 $AM$ 的长.
答案：4. (1)3
(2)解:如答图①,当点M在线段AB上时，
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB//CD,∠ABC=90°,
∴∠CDM=∠AMD.
由折叠得∠AMD=∠A'MD,
∴∠CDM=∠CMD,
∴CD=CM=5.
∵∠ABC=90°,
∴MB=$\sqrt{CM^{2}-BC^{2}}$=3,
∴AM=AB - BM=2.
如答图②,当点M在AB的延长线上时,同法可证CD=CM=5.
∵∠CBM=90°,
∴BM=$\sqrt{CM^{2}-BC^{2}}$=3,
∴AM=AB + BM=8.
综上所述,AM的长为2或8.
5. 如图, 在菱形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$, $AC = 16$, $BD = 12$, $E$ 是边 $AD$ 上一点, 直线 $OE$ 交 $BC$ 于点 $F$, 将菱形沿直线 $EF$ 折叠, 点 $A$, $B$ 的对应点分别为 $A'$, $B'$, 若 $AE = 4$, 则 $B'F$ 的长为
6
.
答案：5. 6
解析：
解：
∵菱形 $ABCD$ 中，$AC=16$，$BD=12$，
∴ $AO=OC=8$，$BO=OD=6$，$AC⊥BD$，$AD=BC$，$AD// BC$。
∵ $E$ 在 $AD$ 上，$AE=4$，设 $AD=BC=x$，由勾股定理得 $AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴ $ED=AD-AE=10-4=6$。
∵ $AD// BC$，$O$ 为 $AC$ 中点，
∴ $△ AOE≌△ COF$（AAS），$CF=AE=4$，$BF=BC-CF=10-4=6$。
折叠后 $B'$ 与 $B$ 关于 $EF$ 对称，$B'F=BF=6$。
答案：6
