7. 若$a = \sqrt{2}$,$b = \sqrt{7}$,则$\sqrt{\dfrac{14a^{2}}{b^{2}}}$ =(
A
)
A.2
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
答案：7. A
解析：
当$a = \sqrt{2}$，$b = \sqrt{7}$时，
$\begin{aligned}\sqrt{\dfrac{14a^{2}}{b^{2}}}&=\dfrac{\sqrt{14} · a}{b}\\&=\dfrac{\sqrt{14} × \sqrt{2}}{\sqrt{7}}\\&=\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}\\&=\sqrt{\dfrac{28}{7}}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
A
8. 若$\sqrt{3a + 4}$是最简二次根式,且$a$为整数,则$a$的最小值是
1
.
答案：8. 1
解析：
要使$\sqrt{3a + 4}$是最简二次根式，则被开方数$3a + 4$不含能开得尽方的因数或因式，且$3a + 4 ≥ 0$。
因为$a$为整数，且求$a$的最小值，从最小整数开始尝试：
当$a = -1$时，$3a + 4 = 3×(-1) + 4 = 1$，$\sqrt{1} = 1$，不是二次根式；
当$a = 0$时，$3a + 4 = 4$，$\sqrt{4} = 2$，不是最简二次根式；
当$a = 1$时，$3a + 4 = 7$，$\sqrt{7}$是最简二次根式。
所以$a$的最小值是$1$。
1
9. 对于任意两个和为正数的实数$a$,$b$,定义运算※:$a※b = \dfrac{a - b}{\sqrt{a + b}}$,例如:$3※1 = \dfrac{3 - 1}{\sqrt{3 + 1}} = 1$,那么$8※12$ =
$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
.
答案：9. $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析：
$8※12=\dfrac{8 - 12}{\sqrt{8 + 12}}=\dfrac{-4}{\sqrt{20}}=\dfrac{-4}{2\sqrt{5}}=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
10. 已知$xy ＞ 0$,则化简$x\sqrt{-\dfrac{y}{x^{2}}}$的结果是
$-\sqrt{-y}$
.
答案：10. $-\sqrt{-y}$
解析：
由题意得，$-\dfrac{y}{x^{2}} ≥ 0$，因为$x^{2} ＞ 0$，所以$-y ≥ 0$，即$y ≤ 0$。
又因为$xy ＞ 0$，所以$x$和$y$同号，而$y ≤ 0$，故$x ＜ 0$，$y ＜ 0$。
$x\sqrt{-\dfrac{y}{x^{2}}} = x · \dfrac{\sqrt{-y}}{\vert x \vert}$，因为$x ＜ 0$，所以$\vert x \vert = -x$，则原式$= x · \dfrac{\sqrt{-y}}{-x} = -\sqrt{-y}$。
$-\sqrt{-y}$
11. 计算:
(1)$\sqrt{\dfrac{20x^{2}y^{2}}{z^{5}}}(x≥0,y≥0)$;
(2)$\sqrt{27a^{2}b^{3}c}÷\sqrt{3a^{2}bc^{2}}·\sqrt{\dfrac{c^{3}}{b^{2}}}(c ＞ 0)$;
(3)$\dfrac{2}{b}\sqrt{ab^{5}}÷3\sqrt{\dfrac{b}{a}}·(-\dfrac{3}{2}\sqrt{a^{2}b})(a ＞ 0,b ＞ 0)$.
答案：11. 解：(1) 原式 $=\frac{\sqrt{20x^{2}y^{2}}}{\sqrt{z^{5}}}=\frac{2xy\sqrt{5z}}{z^{3}}$
(2) 原式 $=\sqrt{27a^{2}b^{3}c÷3a^{2}bc^{2}·\frac{c^{3}}{b^{2}}}=\sqrt{9c^{2}}=3c$
(3) 原式 $=\frac{2}{b}×\frac{1}{3}×(-\frac{3}{2})\sqrt{ab^{5}·\frac{a}{b}· a^{2}b}=-\frac{1}{b}\sqrt{a^{4}b^{5}}=-a^{2}b\sqrt{b}$
12. 在学完“二次根式的乘除”后,数学老师给同学们留下这样一道思考题:已知$x + y = - 6$,$xy = 4$,求$\sqrt{\dfrac{y}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{y}}$的值.
小刚是这样解的:$\sqrt{\dfrac{y}{x}}+\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{xy}}{x}+\dfrac{\sqrt{xy}}{y} = \dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$.
把$x + y = - 6$,$xy = 4$代入,得$\dfrac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy} = \dfrac{\sqrt{4}×(-6)}{4} = - 3$.
显然,这个解法是错误的,请你写出正确的解题过程.
答案：12. 解：$\because x + y = - 6$，$xy = 4$，$\therefore x ＜ 0$，$y ＜ 0$，
$\therefore\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=-\frac{\sqrt{xy}}{x}-\frac{\sqrt{xy}}{y}=-\frac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$
把 $x + y = - 6$，$xy = 4$ 代入，
得 $-\frac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}=-\frac{\sqrt{4}×(-6)}{4}=3$
