5. (2024·泰州月考)先化简，再求值：$(\frac{x^{2}}{x - 1}-x + 1)÷\frac{4x^{2}-4x + 1}{1 - x}$，其中$x=-3$。
答案：解: 原式 $ = \frac{x^2 - (x - 1)^2}{x - 1} · \frac{1 - x}{(2x - 1)^2} = \frac{2x - 1}{x - 1} · \frac{1 - x}{(2x - 1)^2} = -\frac{1}{2x - 1} $。
当 $ x = -3 $ 时, 原式 $ = -\frac{1}{2 × (-3) - 1} = \frac{1}{7} $。
6. 若$x^{2}+x - 1 = 0$，求$\frac{x^{4}+(x - 1)^{2}-1}{x(x - 1)}$的值。
答案：解: $ \because x^2 + x - 1 = 0 $, $ \therefore x^2 = -(x - 1) $。
$ \therefore $ 原式 $ = \frac{x^3 + x^2 - 2x + 1 - 1}{-x^2} = \frac{x^3 + x - 2}{-x^2} = \frac{x(x^2 + 1) - 2}{-x^2} = \frac{x(-x + 1 + 1) - 2}{-x^2} = \frac{-x^2 + 2x - 2}{-x^2} = \frac{-x^2 + 2(x - 1)}{-x^2} = \frac{-x^2 - 2x^2}{-x^2} = 3 $。
7. 已知$xyz≠0$，且$\begin{cases}x + 4y - 3z = 0,\\4x - 5y + 2z = 0.\end{cases}$
(1)用含$z$的代数式表示$x$，$y$；
(2)求$\frac{3x^{2}+2xy + z^{2}}{x^{2}+y^{2}}$的值。
答案：解: (1) $ \begin{cases} x + 4y - 3z = 0, & ① \\ 4x - 5y + 2z = 0, & ② \end{cases} $
$ ① × 4 - ② $, 得 $ 21y - 14z = 0 $, $ \therefore y = \frac{2}{3}z $。
把 $ y = \frac{2}{3}z $ 代入 $ ① $, 得 $ x + 4 × \frac{2}{3}z - 3z = 0 $。
$ \therefore x = \frac{1}{3}z $。
(2) 把 $ x = \frac{1}{3}z $, $ y = \frac{2}{3}z $ 代入 $ \frac{3x^2 + 2xy + z^2}{x^2 + y^2} $, 得
原式 $ = \frac{3 × \frac{1}{9}z^2 + 2 × \frac{1}{3}z × \frac{2}{3}z + z^2}{\frac{1}{9}z^2 + \frac{4}{9}z^2} = \frac{16}{5} $。
8. (1)已知$\frac{a - b}{a + b}=3$，求代数式$\frac{5(a - b)}{a + b}-\frac{3a + 3b}{a - b}$的值；
(2)已知实数$x$满足$x+\frac{1}{x}=4$，求分式$\frac{x}{x^{2}+3x + 1}$的值。
答案：解: (1) 原式 $ = 5 × \frac{a - b}{a + b} - 3 × \frac{a + b}{a - b} $。
$ \because \frac{a - b}{a + b} = 3 $, $ \therefore \frac{a + b}{a - b} = \frac{1}{3} $。
$ \therefore $ 原式 $ = 5 × 3 - 3 × \frac{1}{3} = 15 - 1 = 14 $。
(2) 由题意知 $ x ≠ 0 $, 则原式 $ = \frac{1}{x + 3 + \frac{1}{x}} $。
当 $ x + \frac{1}{x} = 4 $ 时, 原式 $ = \frac{1}{4 + 3} = \frac{1}{7} $。
