1. (2024·盐城)下列运算正确的是(
A
)
A.$ a^{6} ÷ a^{2} = a^{4} $
B.$ 2a - a = 2 $
C.$ a^{3} · a^{2} = a^{6} $
D.$ (a^{3})^{2} = a^{5} $
答案：1. A
2. 一个四边形没有公共顶点的两个外角之和为 $ p $,与这两个外角都不相邻的两个内角的和为 $ q $,则(
A
)
A.$ p = q $
B.$ p + q = 90^{\circ} $
C.$ p + q = 180^{\circ} $
D.$ p + q = 360^{\circ} $
答案：2. A
解析：
设四边形的四个内角分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$、$∠ D$，与$∠ A$、$∠ C$不相邻的两个外角分别为$∠ 1$、$∠ 2$。
因为多边形的一个外角与它相邻的内角互补，所以$∠ 1 = 180^{\circ}-∠ B$，$∠ 2 = 180^{\circ}-∠ D$。
则$p=∠ 1+∠ 2=(180^{\circ}-∠ B)+(180^{\circ}-∠ D)=360^{\circ}-(∠ B+∠ D)$。
又因为四边形内角和为$360^{\circ}$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D = 360^{\circ}$，所以$∠ A+∠ C=360^{\circ}-(∠ B+∠ D)$，即$q=∠ A+∠ C=360^{\circ}-(∠ B+∠ D)$。
因此，$p = q$。
A
3. 已知 $ \begin{cases}x = -1, \\ y = 2\end{cases}$ 是二元一次方程组 $ \begin{cases}3x + 2y = m, \\ nx - y = 1\end{cases}$ 的解,则 $ m - n $ 的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：3. D
解析：
将$x = -1$，$y = 2$代入$3x + 2y = m$，得$3×(-1)+2×2 = m$，解得$m = 1$。
将$x = -1$，$y = 2$代入$nx - y = 1$，得$n×(-1)-2 = 1$，解得$n = -3$。
$m - n = 1 - (-3) = 4$。
D
4. (2024·宜兴月考)如图,将 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ (其中 $ ∠ B = 35^{\circ}, ∠ C = 90^{\circ} $) 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转到 $ △ AB_{1}C_{1} $ 的位置,使得点 $ C,A,B_{1} $ 在同一条直线上,那么旋转角等于(
C
)
A.$ 55^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 125^{\circ} $
D.145
答案：4. C
解析：
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ B=35^{\circ}$，
$\therefore ∠ BAC=180^{\circ}-∠ C-∠ B=180^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
$\because$点$C$，$A$，$B_1$在同一条直线上，
$\therefore ∠ BAB_1=180^{\circ}-∠ BAC=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
即旋转角等于$125^{\circ}$。
答案：C
5. 按如图的程序进行操作,规定:程序运行从"输入一个值 $ x $"到"结果是否 $ ＞ 365 $"为一次操作. 如果必须进行 3 次操作才能得到输出值,那么输入值 $ x $ 必须满足(
D
)
A.$ x ＜ 50 $
B.$ x ＜ 95 $
C.$ 50 ＜ x ＜ 95 $
D.$ 50 ＜ x ≤ 95 $
答案：5. D
解析：
解：第一次操作：$2x - 5$，需满足$2x - 5 ≤ 365$，解得$x ≤ 185$；
第二次操作：$2(2x - 5) - 5 = 4x - 15$，需满足$4x - 15 ≤ 365$，解得$x ≤ 95$；
第三次操作：$2(4x - 15) - 5 = 8x - 35$，需满足$8x - 35 ＞ 365$，解得$x ＞ 50$；
综上，$50 ＜ x ≤ 95$。
D
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
6. (2024·如皋月考)将命题"同角的补角相等"改写成"如果……,那么……"的形式:
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
.
答案：6. 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
7. (2024·广元)1 阿秒是 $ 10^{-18} $ 秒,也就是十亿分之一秒的十亿分之一. 目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是 43 阿秒,将 43 阿秒用科学记数法表示为
$ 4.3 × 10 ^ { - 17 } $
秒.
答案：7. $ 4.3 × 10 ^ { - 17 } $
8. (2024·海门期末)如图,在 $ △ ABC $ 中, $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $, $ AE $ 平分 $ ∠ BAC $,交 $ BC $ 于点 $ E $,若 $ ∠ ABC = α, ∠ ACB = β (α ＞ β) $,则 $ ∠ DAE $ 的度数为
$ \frac { 1 } { 2 } α - \frac { 1 } { 2 } β $
. (用含 $ α, β $ 的式子表示)
答案：8. $ \frac { 1 } { 2 } α - \frac { 1 } { 2 } β $
解析：
解：在$△ABC$中，$∠BAC=180^{\circ}-∠ABC-∠ACB=180^{\circ}-α-β$。
因为$AE$平分$∠BAC$，所以$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-α-β)=90^{\circ}-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$。
在$Rt△ABD$中，$∠BAD=90^{\circ}-∠ABC=90^{\circ}-α$。
所以$∠DAE=∠BAE - ∠BAD=(90^{\circ}-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β)-(90^{\circ}-α)=\frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β$。
$\frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β$
9. (2024·工业园区期末)若 $ m + n = 1 $,则 $ m^{2} + 2n - n^{2} = $
1
.
答案：9. 1
解析：
$m^{2} + 2n - n^{2}$
$=(m^{2}-n^{2})+2n$
$=(m + n)(m - n)+2n$
因为$m + n = 1$，所以原式$=1×(m - n)+2n=m - n + 2n=m + n=1$
1
10. "洞庭碧螺春,品香醉天下". 洞庭碧螺春产于苏州市太湖洞庭山,以形美、色艳、香浓、味醇"四绝"驰名中外. 现有 1 个小杯和 1 个大杯,若将一壶碧螺春茶倒满 2 个小杯,则还剩 $ \frac{1}{4} $ 壶;若倒满 1 个小杯后再全部倒入 1 个大杯中,则只能倒满这个大杯的 $ \frac{1}{2} $. 1 个小杯与 1 个大杯的容积之比为
$ 3 : 10 $
.
答案：10. $ 3 : 10 $
