12. (10 分)如图,在四边形 $ A B C D $ 中, $ ∠ A $ 与 $ ∠ C $ 互补, $ B E $, $ D F $ 分别平分 $ ∠ A B C $, $ ∠ A D C $, $ E G // A B $,与 $ B C $ 相交于点 $ G $.
(1) $ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 有怎样的数量关系? 请说明理由;
(2)若 $ ∠ A = 108 ^ { \circ } $, $ ∠ 1 = 46 ^ { \circ } $,求 $ ∠ C E G $ 的度数.
答案：12. 解: (1) $ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 互余. 理由如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 的内角和为 $ 360^{\circ} $, $ ∠ A $ 与 $ ∠ C $ 互补,
∴ $ ∠ ABC + ∠ ADC = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ} $.
∵ $ BE $, $ DF $ 分别平分 $ ∠ ABC $, $ ∠ ADC $,
∴ $ ∠ 1 = \frac{1}{2}∠ ADC $, $ ∠ ABE = \frac{1}{2}∠ ABC $.
∵ $ EG // AB $,
∴ $ ∠ 2 = ∠ ABE $,
∴ $ ∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ADC + \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ADC) = 90^{\circ} $,
即 $ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 互余.
(2) 由 (1), 知 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ} $.
∵ $ ∠ A = 108^{\circ} $, $ ∠ 1 = 46^{\circ} $, $ ∠ A $ 与 $ ∠ C $ 互补,
∴ $ ∠ C = 180^{\circ} - ∠ A = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} $, $ ∠ 2 = 90^{\circ} - ∠ 1 = 90^{\circ} - 46^{\circ} = 44^{\circ} $.
∵ $ EG // AB $,
∴ $ ∠ 2 = ∠ ABE = 44^{\circ} $.
∵ $ BE $ 平分 $ ∠ ABC $,
∴ $ ∠ ABE = ∠ CBE = 44^{\circ} $,
∴ $ ∠ BEC = 180^{\circ} - ∠ CBE - ∠ C = 180^{\circ} - 44^{\circ} - 72^{\circ} = 64^{\circ} $,
∴ $ ∠ CEG = ∠ BEC - ∠ 2 = 64^{\circ} - 44^{\circ} = 20^{\circ} $.
13. (10 分)(2024·邗江区期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1, $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ 都是格点.
(1) $ △ A B C $ 的面积为
7
;
(2)若 $ △ A B C $ 沿着 $ A \to D $ 方向平移后得 $ △ D E F $(其中点 $ A $, $ B $, $ C $的对应点分别是 $ D $, $ E $, $ F $),画出 $ △ D E F $;
(3)图中 $ A C $ 与 $ D F $ 的关系是
平行且相等
;
(4)画出 $ A B $ 边上的中线 $ C H $(利用网格点和直尺画图)
答案：13. (1) 7
(2) 解: 如答图, $ △ DEF $ 即为所求.
(3) 平行且相等
(4) 解: 如答图, $ CH $ 即为所求.
14. (10 分)(2024·苏州期末)某商家在线上销售甲、乙两种纪念品. 为了吸引顾客,该商家推出两种促销方案 $ A $ 和 $ B $,且每天只能选择其中一种方案进行销售. 方案 $ A $, $ B $ 分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润(单位:元)如下表:
该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共 100 件,且当天全部售完.
(1)某天采用方案 $ A $ 销售,当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共 1360 元,求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件?
(2)某天销售甲、乙两种纪念品,要使采用方案 $ B $ 当天所获得的利润不低于采用方案 $ A $ 当天所获得的利润,求甲种纪念品当天的销量至少是多少件?
答案：14. 解: (1) 设甲种纪念品当天销售 $ x $ 件, 乙种纪念品当天销售 $ y $ 件,
由题意, 得 $ \begin{cases} x + y = 100, \\ 10x + 18y = 1360, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 55, \\ y = 45. \end{cases} $
答: 甲种纪念品当天销售 55 件, 乙种纪念品当天销售 45 件.
(2) 设甲种纪念品当天的销量是 $ m $ 件, 则乙种纪念品当天的销量是 $ (100 - m) $ 件,
由题意, 得 $ 16m + 14(100 - m) ≥ 10m + 18(100 - m) $,
解得 $ m ≥ 40 $.
答: 甲种纪念品当天的销量至少是 40 件.
15. (12 分)如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块,其中有 2 块是边长为 $ a \mathrm { ~cm } $ 的大正方形,2 块是边长为 $ b \mathrm { ~cm } $ 的小正方形,5 块是长为 $ a \mathrm { ~cm } $,宽为 $ b \mathrm { ~cm } $ 的相同的小长方形.
(1)观察图形,发现代数式 $ 2 a ^ { 2 } + 5 a b + 2 b ^ { 2 } $ 可以写成两个整式的乘积为
$ (a + 2b)(2a + b) $
.
(2)若图中阴影部分的面积为 $ 34 \mathrm { ~cm } ^ { 2 } $,大长方形纸板的周长为 $ 30 \mathrm { ~cm } $.
求:① $ a + b $ 的值;
②图中空白部分的面积.
答案：15. (1) $ (a + 2b)(2a + b) $
(2) 解: ①
∵ 大长方形纸板的周长为 $ 30 \, \mathrm{cm} $,
∴ $ (a + 2b + b + 2a) × 2 = 30 $, 即 $ a + b = 5 $.
②
∵ 阴影部分的面积为 $ 34 \, \mathrm{cm}^{2} $,
∴ $ 2a^{2} + 2b^{2} = 34 $, 即 $ a^{2} + b^{2} = 17 $.
∵ $ (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab $,
∴ $ ab = \frac{(a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2})}{2} = \frac{5^{2} - 17}{2} = 4 $,
∴ $ 5ab = 20 $, 即图中空白部分的面积为 $ 20 \, \mathrm{cm}^{2} $.
