1. 已知关于 $ x $ 的不等式 $\frac{4x + a}{3} ＞ 1$ 的解都是不等式 $\frac{2x + 1}{3} ＞ 0$ 的解，则 $ a $ 的取值范围是 (
C
)
A.$ a = 5 $
B.$ a ≥ 5 $
C.$ a ≤ 5 $
D.$ a ＜ 5 $
答案：1. C 点拨:由 $\frac{4x + a}{3} ＞ 1$，得 $x ＞ \frac{3 - a}{4}$。由 $\frac{2x + 1}{3} ＞ 0$，得 $x ＞ -\frac{1}{2}$。
∵关于 $x$ 的不等式 $\frac{4x + a}{3} ＞ 1$ 的解都是不等式 $\frac{2x + 1}{3} ＞ 0$ 的解，
∴ $\frac{3 - a}{4} ≥ -\frac{1}{2}$，解得 $a ≤ 5$。
2. (2024·海门校级期中)若关于 $ x $ 的不等式 $ mx - n ＞ 0 $ 的解集为 $ x ＜ 2 $，则关于 $ x $ 的不等式 $ (m + n)x ＞ m - n $ 的解集是 (
D
)
A.$ x ＞ - 3 $
B.$ x ＞ - \frac{1}{3} $
C.$ x ＜ - 3 $
D.$ x ＜ - \frac{1}{3} $
答案：2. D 点拨:
∵关于 $x$ 的不等式 $mx - n ＞ 0$ 的解集是 $x ＜ 2$，
∴ $\frac{n}{m} = 2$，即 $n = 2m$，且 $m ＜ 0$，代入不等式 $(m + n)x ＞ m - n$，得 $3mx ＞ -m$，解得 $x ＜ -\frac{1}{3}$。
3. (2024·滨湖区期末)已知 $ x = 2 $ 是不等式 $ (x - 5)(ax - 3a + 2) ≤ 0 $ 的解，且 $ x = 1 $ 不是这个不等式的解，则 $ a $ 的取值范围是
$1 ＜ a ≤ 2$
.
答案：3. $1 ＜ a ≤ 2$ 点拨:
∵ $x = 2$ 是不等式 $(x - 5)(ax - 3a + 2) ≤ 0$ 的解，
∴ $(2 - 5)(2a - 3a + 2) ≤ 0$，解得 $a ≤ 2$。
∵ $x = 1$ 不是这个不等式的解，
∴ $(1 - 5)(a - 3a + 2) ＞ 0$，解得 $a ＞ 1$，
∴ $1 ＜ a ≤ 2$。
4. (2024·江阴模拟)已知关于 $ x $ 的不等式 $\frac{2m + x}{3} ≤ \frac{4mx - 1}{2}$ 的解集是 $ x ≤ \frac{1}{6} $，求 $ m $ 的值.
答案：4. 解:原不等式可化为 $4m + 2x ≤ 12mx - 3$，即 $(2 - 12m)x ≤ -3 - 4m$。又因为原不等式的解集为 $x ≤ \frac{1}{6}$，则 $2 - 12m ＞ 0$，$m ＜ \frac{1}{6}$，且 $\frac{4m + 3}{12m - 2} = \frac{1}{6}$，即 $24m + 18 = 12m - 2$，解得 $m = -\frac{5}{3}$。故 $m$ 的值为 $-\frac{5}{3}$。
解析：
解:原不等式可化为 $4m + 2x ≤ 12mx - 3$，即 $(2 - 12m)x ≤ -3 - 4m$。
因为原不等式的解集为 $x ≤ \frac{1}{6}$，所以 $2 - 12m ＞ 0$，即 $m ＜ \frac{1}{6}$，且 $\frac{-3 - 4m}{2 - 12m} = \frac{1}{6}$。
方程两边同乘 $6(2 - 12m)$得：$6(-3 - 4m) = 2 - 12m$，即 $-18 - 24m = 2 - 12m$，移项得 $-24m + 12m = 2 + 18$，合并同类项得 $-12m = 20$，解得 $m = -\frac{5}{3}$。
经检验，$m = -\frac{5}{3}$ 满足 $m ＜ \frac{1}{6}$。
故 $m$ 的值为 $-\frac{5}{3}$。
