1. (2024·兴化月考)已知关于 $x,y$ 的二元一次方程 $(3x - y - 1)+a(x + y - 3)=0$, 不论 $a$ 取何值, 方程总有一个固定不变的解, 这个解是
.
答案：$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
解析：
将方程整理为关于$a$的表达式：$(x + y - 3)a + (3x - y - 1) = 0$。因为不论$a$取何值方程恒成立，所以$a$的系数及常数项均为0，即$\begin{cases}x + y - 3 = 0 \\ 3x - y - 1 = 0\end{cases}$。解方程组，两式相加得$4x = 4$，$x = 1$，代入$x + y = 3$得$y = 2$。
2. (2024·余杭区月考)关于 $x,y$ 的方程 $mx + ny = m - 2n$, 其中 $m,n$ 是常数.
(1) 若 $\frac{m}{n}=2$, 则 $\frac{x}{y}$ 的值是
2=3.
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(2) 不论 $m,n$ 取何值, 该方程始终成立, 则 $x - y$ 的值是
.
答案：2=3.
3. (2024·淮安期中)已知关于 $x,y$ 的二元一次方程 $ax + 3y + b = 0$ ($a,b$ 均为常数, 且 $a≠0$).
(1) 当 $a = 1,b = - 2$ 时, 用含 $x$ 的代数式表示 $y$ 为
$ y=\frac{2-x}{3} $
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(2) 若 $\begin{cases}x = 2,\\y = - b\end{cases}$ 是该二元一次方程的一个解.
① 探索 $a$ 与 $b$ 的关系, 并说明理由;
② 无论 $a,b$ 取何值, 这些方程都有一个公共的解, 请求出这个解.
答案：3. (1) $ y=\frac{2-x}{3} $
(2)解:① $ a=b $,理由如下:
把 $ \{\begin{array}{l} x=2, \\ y=-b \end{array} $ 代入关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ ax+3y+b=0 $,得 $ 2a-3b+b=0 $, $ 2a-2b=0 $, $ 2a=2b $, $ \therefore a=b $.
②由①可知 $ a=b $, $ \therefore $ 原方程化为 $ ax+3y+a=0 $, $ a(x+1)+3y=0 $.
$ \because $ 无论 $ a,b $ 取何值,这些方程都有一个公共的解,
$ \therefore x+1=0 $, $ 3y=0 $,解得 $ x=-1 $, $ y=0 $, $ \therefore $ 这个公共解为 $ \{\begin{array}{l} x=-1, \\ y=0. \end{array} $
