13. (10 分)(2024·秦安县期中)某铁件加工厂用如图①的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图②的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.(加工时接缝材料不计)
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片
7
张，正方形铁片
3
张；
(2)现有长方形铁片 2014 张，正方形铁片 1176 张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那么加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒. 现用 35 张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成 3 个长方形铁片或 4 个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出 1 个长方形铁片和 2 个正方形铁片. 利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
答案：13. (1) 7 3
(2) 解：设加工的竖式铁容器有 $ x $ 个，横式铁容器有 $ y $ 个，
根据题意，得 $\begin{cases}4x + 3y = 2014,\\x + 2y = 1176,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 100,\\y = 538.\end{cases}$
答：加工的竖式铁容器有 100 个，横式铁容器有 538 个。
(3) 解：设做长方形铁片的铁板为 $ m $ 块，做正方形铁片的铁板为 $ n $ 块，
根据题意，得 $\begin{cases}m + n = 35,\\3m = 2×4n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m = 25\dfrac{5}{11},\ = 9\dfrac{6}{11}.\end{cases}$
因为在这 35 块铁板中，25 块做长方形铁片可做 $ 25×3 = 75 $（张），9 块做正方形铁片可做 $ 9×4 = 36 $（张），剩下 1 块可裁出 1 张长方形铁片和 2 张正方形铁片，所以共做长方形铁片 $ 75 + 1 = 76 $（张），正方形铁片 $ 36 + 2 = 38 $（张），所以可做铁盒 $ 76÷4 = 19 $（个）。
答：最多可以加工成 19 个铁盒。
14. （16 分）（2024·玄武区月考）小明购买学习用品的收据如下表，因被涂污导致部分数据无法识别.
根据表中的信息，解答下列问题：
（1）小明买了铅笔、彩笔各几支？
（2）若小明再次购买笔记本和铅笔两种文具，共花费 15 元，则有几种不同的购买方案？ 请写出具体的购买方案.
（3）在（2）的条件下，若一本笔记本的进价是 4 元，一支铅笔的进价是 1.2 元，哪种购买方案商家盈利最多？ 为什么？
答案：14. 解：(1) 设小明买了 $ x $ 支铅笔，$ y $ 支彩笔，
根据题意，得 $\begin{cases}2 + x + y + 2 + 1 = 8,\\6 + 1.5x + 4y + 9 + 3.5×1 = 28,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2.\end{cases}$
答：小明买了 1 支铅笔，2 支彩笔。
(2) 设购买 $ m $ 本笔记本，$ n $ 支铅笔，
根据题意，得 $ 4.5m + 1.5n = 15 $，所以 $ n = 10 - 3m $。
因为 $ m $，$ n $ 均为正整数，
所以 $\begin{cases}m = 1,\ = 7\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 2,\ = 4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 3,\ = 1,\end{cases}$
所以共有 3 种购买方案，
方案 1：购买 1 本笔记本，7 支铅笔；
方案 2：购买 2 本笔记本，4 支铅笔；
方案 3：购买 3 本笔记本，1 支铅笔。
(3) 方案 1 商家盈利最多。理由如下：
方案 1 商家可盈利 $ (4.5 - 4)×1 + (1.5 - 1.2)×7 = 2.6 $（元）；
方案 2 商家可盈利 $ (4.5 - 4)×2 + (1.5 - 1.2)×4 = 2.2 $（元）；
方案 3 商家可盈利 $ (4.5 - 4)×3 + (1.5 - 1.2)×1 = 1.8 $（元）。
因为 $ 2.6＞2.2＞1.8 $，所以方案 1 商家盈利最多。
