一、选择题(每小题 6 分，共 24 分)
1. (2024·天宁区期中)已知二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 5,\\x - 2y = 1,\end{cases}$则$x - y$的值为( )
A. 2
B. $-2$
C. 6
D. $-6$
答案：1. A
解析：
$\begin{cases}2x - y = 5,①\\x - 2y = 1,②\end{cases}$
①+②得：$3x - 3y = 6$
两边同时除以3得：$x - y = 2$
A
2. (2024·通州区月考)小成心里想了两个数字$a,b$，满足下列三个方程，那么不满足的那个方程是(
D
)
A.$a - b = 3$
B.$2a + 3b = 1$
C.$3a - b = 7$
D.$2a + b = 5$
答案：2. D
解析：
联立A、B方程：
$\begin{cases}a - b = 3 \\2a + 3b = 1\end{cases}$
由$a - b = 3$得$a = b + 3$，代入$2a + 3b = 1$：
$2(b + 3) + 3b = 1$
$2b + 6 + 3b = 1$
$5b = -5$
$b = -1$
则$a = -1 + 3 = 2$
检验C：$3a - b = 3×2 - (-1) = 7$，成立；
检验D：$2a + b = 2×2 + (-1) = 3 ≠ 5$，不成立。
D
3. (2025·自贡)某小区人行道地砖铺设图案如图所示. 用 10 块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长 40 cm，则小地砖短边长为(
B
)
A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案：3. B
解析：
设小平行四边形短边长为$x$ cm，长边长为$y$ cm。
由图可知，大平行四边形短边由5个小平行四边形短边组成，即$5x = 40$，解得$x = 8$。
B
4. (2024·齐齐哈尔)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出 200 元钱全部用于购买单价分别为 8 元和 10 元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有(
B
)
A.5 种
B.4 种
C.3 种
D.2 种
答案：4. B
解析：
设购买单价为8元的笔记本$x$本，单价为10元的笔记本$y$本。
根据题意，得$8x + 10y = 200$，化简为$4x + 5y = 100$，则$x = \frac{100 - 5y}{4}$。
因为$x$，$y$均为正整数，所以$100 - 5y$必须是4的倍数。
当$y = 4$时，$x = \frac{100 - 5×4}{4} = 20$；
当$y = 8$时，$x = \frac{100 - 5×8}{4} = 15$；
当$y = 12$时，$x = \frac{100 - 5×12}{4} = 10$；
当$y = 16$时，$x = \frac{100 - 5×16}{4} = 5$。
共4种购买方案。
B
二、填空题(每小题 5 分，共 25 分)
5. (2025·相城区期末)若方程组$\begin{cases}2x + y = ■,\\x - 3y = 7\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = △,\end{cases}$则被遮盖的■表示的数为 ______ .
答案：5. 0
解析：
将$x = 1$代入$x - 3y = 7$，得$1 - 3y = 7$，解得$y = -2$。
将$x = 1$，$y = -2$代入$2x + y$，得$2×1 + (-2) = 0$。
0
6. 已知$y = kx + b(k ≠ 0)$中，当$x = -1$时，$y = 5$；当$x = 2$时，$y = 14$，则$kb =$
24
.
答案：6. 24
解析：
解：将$x=-1$，$y=5$和$x=2$，$y=14$分别代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}-k + b = 5 \\ 2k + b = 14\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$2k + b - (-k + b) = 14 - 5$
$2k + b + k - b = 9$
$3k = 9$
$k = 3$
将$k = 3$代入$-k + b = 5$，得$-3 + b = 5$，$b = 8$
所以$kb = 3×8 = 24$
7. (2025·河北)已知甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为$a,b$. 如图，将甲纸条的$\frac{1}{3}$与乙纸条的$\frac{2}{5}$叠合在一起，形成长为 81 的纸条，则$a + b =$
99
.
答案：7. 99
解析：
由题意得，甲纸条未叠合部分为$a - \frac{1}{3}a=\frac{2}{3}a$，乙纸条未叠合部分为$b - \frac{2}{5}b=\frac{3}{5}b$，叠合部分为$\frac{1}{3}a$（或$\frac{2}{5}b$）。
因为形成的纸条总长为81，所以$\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}a+\frac{3}{5}b = 81$，即$a+\frac{3}{5}b=81$。
又因为叠合部分长度相等，所以$\frac{1}{3}a=\frac{2}{5}b$，即$5a = 6b$，$a=\frac{6}{5}b$。
将$a=\frac{6}{5}b$代入$a+\frac{3}{5}b=81$，得$\frac{6}{5}b+\frac{3}{5}b=81$，$\frac{9}{5}b=81$，$b = 45$。
则$a=\frac{6}{5}×45 = 54$，所以$a + b=54 + 45=99$。
99
8. (2024·梁溪区期末)完全相同的 4 个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为$m,n$的大长方形，则图中阴影部分的周长是
$ 4n $
.
答案：8. $ 4n $
解析：
设小长方形的长为$a$，宽为$b$。
由图可知：$a + 2b = m$，$a = 2b$。
阴影部分由两个小长方形组成，其周长为：
$\begin{aligned}&2[(m - a) + (n - a)] + 2[(m - 2b) + (n - 2b)]\\=&2[(m - 2b) + (n - 2b)] + 2[(m - 2b) + (n - 2b)]\\=&4[(m - 2b) + (n - 2b)]\\=&4[m + n - 4b]\end{aligned}$
因为$a = 2b$且$a + 2b = m$，所以$4b = m$，则：
$4[m + n - 4b] = 4n$
$4n$
9. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = -a + 1,\\x - 3y = 4a + 6\end{cases}$($a$是常数)，若不论$a$取什么数，代数式$kx - y$($k$是常数)的值始终不变，则$k =$ ______ .
答案：9. $-1$
解析：
解：$\begin{cases}x + 2y = -a + 1,①\\x - 3y = 4a + 6,②\end{cases}$
$①-②$得：$5y=-5a-5$，$y=-a-1$
把$y=-a-1$代入①得：$x+2(-a-1)=-a+1$，$x= a+3$
$kx-y=k(a+3)-(-a-1)=(k+1)a+3k+1$
因为不论$a$取什么数，$kx - y$的值始终不变，所以$k+1=0$，解得$k=-1$
$-1$
