答案：10.( )解：(1) $\begin{cases}2(x - 1)+3(y - 1)=3,①\\2(x - 1)-3(y - 1)=1,②\end{cases}$
①+②，得 $4(x - 1)=4$，
解得 $x = 2$．
①-②，得 $6(y - 1)=2$，
解得 $y=\frac{4}{3}$．
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 2,\\y=\frac{4}{3}.\end{cases}$
(2) 原方程组可化为 $\begin{cases}3x - y = 8,①\\3x - 2y = 4,②\end{cases}$
①-②，得 $y = 4$．
将 $y = 4$ 代入①，得 $3x - 4 = 8$，
解得 $x = 4$．
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 4,\\y = 4.\end{cases}$

答案：11. 解：根据题意，可知 $\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$ 不满足方程 $ax + 3y = 5$，
但应满足方程 $bx + 2y = 8$，
代入此方程，得 $-b + 4 = 8$，解得 $b = -4$．
同理，将 $\begin{cases}x = 1,\\y = 4\end{cases}$ 代入方程 $ax + 3y = 5$，得 $a + 12 = 5$，解得 $a = -7$．
所以原方程组应为 $\begin{cases}-7x + 3y = 5,\\-4x + 2y = 8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 7,\\y = 18.\end{cases}$

答案：12. 解：(1) $\begin{cases}x + 3y = 4 - a,①\\x - y = 3a,②\end{cases}$
①-②，得 $4y = 4 - 4a$，
解得 $y = 1 - a$．
将 $y = 1 - a$ 代入②，得 $x = 2a + 1$．
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 2a + 1,\\y = 1 - a.\end{cases}$
因为 $x + y = 0$，
所以 $2a + 1 + 1 - a = 0$，
所以 $a = -2$．
(2) 因为 $\begin{cases}x = 2a + 1,\\y = 1 - a,\end{cases}$
所以 $x + 2y = 2a + 1 + 2(1 - a) = 2a + 1 + 2 - 2a = 3$，
所以无论 $a$ 取什么值，$x + 2y$ 的值始终不变．

答案：13. 解：(1) 由 $x + 2y - 6 = 0$，得 $x = 6 - 2y$，
当 $y = 1$ 时，$x = 4$；当 $y = 2$ 时，$x = 2$．
故方程 $x + 2y - 6 = 0$ 的所有正整数解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}\begin{cases}x = 4,\\y = 1.\end{cases}$
(2) 由题意，得 $\begin{cases}x + y = 0,\\x + 2y - 6 = 0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = -6,\\y = 6.\end{cases}$
将 $\begin{cases}x = -6,\\y = 6\end{cases}$ 代入 $x - 2y + mx + 5 = 0$，解得 $m = -\frac{13}{6}$．
(3) $x - 2y + mx + 5 = 0$，
$(1 + m)x - 2y = -5$，
所以当 $x = 0$ 时，$y = 2.5$，
即方程 $x - 2y + mx + 5 = 0$ 固定的解为 $\begin{cases}x = 0,\\y = 2.5.\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x + 2y - 6 = 0,①\\x - 2y + mx + 5 = 0,②\end{cases}$
①+②，得 $2x - 6 + mx + 5 = 0$，
$(2 + m)x = 1$，
$x = \frac{1}{2 + m}$．
因为 $x$ 恰为整数，$m$ 也为整数，
所以 $2 + m = 1$ 或 $2 + m = -1$，
解得 $m = -1$ 或 $m = -3$．