10.（8分）（2024·扬州期末）在计算$(x + a)(x + b)$时，甲错把$b$看成了$6$，得到的结果是$x^{2} + 8x + 12$；乙错把$+a$看成了$-a$，得到的结果是$x^{2} + x - 6$.
（1）求$a$，$b$的值；
（2）计算$(x + a)(x + b)$的正确结果.
答案：10. 解：(1) 根据题意，得 $(x + a)(x + 6) = x^{2} + (6 + a)x + 6a = x^{2} + 8x + 12$，
$(x - a)(x + b) = x^{2} + (-a + b)x - ab = x^{2} + x - 6$，
所以 $6 + a = 8$，$-a + b = 1$，
解得 $a = 2$，$b = 3$。
(2) 当 $a = 2$，$b = 3$ 时，$(x + a)(x + b) = (x + 2)(x + 3) = x^{2} + 5x + 6$。
11.(8分)(2024·南京改编)(1)任意两个奇数的平方差总能(
D
)
A. 被$3$整除
B. 被$5$整除
C. 被$6$整除
D. 被$8$整除
(2)请你用字母表示这两个奇数，说明(1)中的选择是正确的.
[提醒：$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$]
答案：11. (1) D
(2) 解：设这两个奇数分别为 $2m + 1$ 和 $2n + 1$，且 $m$，$n$ 为整数，
$(2m + 1)^{2} - (2n + 1)^{2} = (2m + 1 + 2n + 1)(2m + 1 - 2n - 1) = (2m + 2n + 2)(2m - 2n) = 4(m + n + 1)(m - n)$，
因为 $m - n$ 和 $m + n + 1$ 必有一个为偶数，所以 $(2m + 1)^{2} - (2n + 1)^{2}$ 是 8 的倍数，
所以任意两个奇数的平方差总能被 8 整除。
12.（8分）已知$M = (a - 2b)(-a + 2b) - (-a - 2b)(-a + 2b)$.
（1）设$b = ma$，是否存在有理数$m$，使得$M$能化简为$2a^{2}$？若能，请求出满足条件的$m$的值；若不能，请说明理由；
（2）若$N = 8(a - b)$，且$M - N$的值与$b$无关，求$M - N$的值.
答案：12. 解：(1) 能。$M = -a^{2} + 4ab - 4b^{2} - a^{2} + 4b^{2} = -2a^{2} + 4ab$，
把 $b = ma$ 代入，得 $M = -2a^{2} + 4ma^{2} = 2a^{2}$，
即 $4ma^{2} = 4a^{2}$，
解得 $m = 1$，
所以 $M$ 能化简为 $2a^{2}$，此时 $m = 1$。
(2) 因为 $N = 8(a - b)$，
所以 $M - N = -2a^{2} + 4ab - 8a + 8b = -2a^{2} + (4a + 8)b - 8a$。
由 $M - N$ 的值与 $b$ 无关，得 $4a + 8 = 0$，即 $a = -2$，则 $M - N = -8 + 16 = 8$。
13.(16分)(2024·苏州期中)完全平方公式经过适当变形后可以解决很多的数学问题.
(1)若$x + y = 6$，$x^{2} + y^{2} = 30$，求$xy$的值.
(2)请直接写出下列问题的答案：
①若$3a + b = 7$，$ab = 2$，则$3a - b =$
$\pm 5$
；
②若$(4 - x)(5 - x) = 8$，则$(4 - x)^{2} + (5 - x)^{2} =$
17
.
(3)如图，在边长为$6$的正方形$ABCD$中放置两个长为$a$，宽为$b$($a ＜ 6$，$b ＜ 6$)的长方形，若长方形的周长为$16$，面积为$15.75$，求图中阴影部分的面积和.
答案：13. (1) 解：因为 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy$，$x + y = 6$，$x^{2} + y^{2} = 30$，所以 $6^{2} = 30 + 2xy$，解得 $xy = 3$。
(2) ① $\pm 5$ ② 17
(3) 解：如答图，$ED = DF = 6 - a$，$HG = b - (6 - a) = a + b - 6$，$BQ = BP = 6 - b$，$HI = a - (6 - b) = a + b - 6$。
因为长方形的周长为 16，面积为 15.75，
所以 $a + b = \frac{16}{2} = 8$，$ab = 15.75$，
所以 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = (6 - a)^{2} + (8 - 6)^{2} + (6 - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 12(a + b) + 76 = (a + b)^{2} - 12(a + b) - 2ab + 76 = 12.5$。即阴影部分的面积和为 12.5。
