一、选择题
1. (2024·淮安月考)给出下列式子:①$(
a^{n})^{3n}=a^{4n}$;②$[(-a)^{2}]^{3}=(-a^{2})^{3}$;③$[(-a)^{m}]^{n}=[(-a)^{n}]^{m}$;④$(a^{2})^{3}· (a^{3})^{2}=a^{10}$.其中正确的有(
D
)
A. ①③
B. ②④
C. ①②④
D. ③
答案：1. D
解析：
①$(a^{n})^{3n}=a^{n·3n}=a^{3n^{2}}≠ a^{4n}$，错误；
②$[(-a)^{2}]^{3}=(a^{2})^{3}=a^{6}$，$(-a^{2})^{3}=-a^{6}$，$a^{6}≠ -a^{6}$，错误；
③$[(-a)^{m}]^{n}=(-a)^{mn}$，$[(-a)^{n}]^{m}=(-a)^{nm}$，$(-a)^{mn}=(-a)^{nm}$，正确；
④$(a^{2})^{3}· (a^{3})^{2}=a^{6}· a^{6}=a^{12}≠ a^{10}$，错误。
正确的只有③，答案选D。
2. (2024·常熟期中)若$a=-2^{2}$,$b = 2^{-2}$,$c=(\dfrac{1}{2})^{-2}$,$d=(\dfrac{1}{2})^{0}$,则(
A
)
A.$a ＜ b ＜ d ＜ c$
B.$a ＜ b ＜ c ＜ d$
C.$b ＜ a ＜ d ＜ c$
D.$a ＜ c ＜ b ＜ d$
答案：2. A
解析：
$a=-2^{2}=-4$，$b=2^{-2}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}$，$c=(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^{2}=4$，$d=(\dfrac{1}{2})^{0}=1$，因为$-4 ＜ \dfrac{1}{4} ＜ 1 ＜ 4$，所以$a ＜ b ＜ d ＜ c$。A
3. 若$(2x + 5)^{-3}$有意义,则$x$满足的条件是(
B
)
A.$x ＞ -\dfrac{5}{2}$
B.$x ≠ -\dfrac{5}{2}$
C.$x ≠ 0$
D.$x ＜ -\dfrac{5}{2}$
答案：3. B
解析：
要使$(2x + 5)^{-3}$有意义，需满足底数不为$0$，即$2x + 5 ≠ 0$，解得$x ≠ -\dfrac{5}{2}$。
B
二、填空题
4. (2025·姑苏区期末)若$x^{m}=6$,$x^{n}=3$,则$x^{m - n}=$
.
答案：4. 2
解析：
$x^{m - n}=x^m÷ x^n=6÷3=2$
5. (2025·锡山区期中)已知$4a - 3b + 1 = 0$,则$3^{2}×3^{4a}÷27^{b}$的值为
3
.
答案：5. 3
解析：
$3^{2} × 3^{4a} ÷ 27^{b} = 3^{2} × 3^{4a} ÷ (3^{3})^{b} = 3^{2 + 4a - 3b}$，
因为$4a - 3b + 1 = 0$，所以$4a - 3b = -1$，
则$2 + 4a - 3b = 2 + (-1) = 1$，
所以原式$= 3^{1} = 3$。
6. (2025·淮安期末)数据$0.00000098$用科学记数法表示为
$ 9.8×10^{-7} $
.
答案：6. $ 9.8×10^{-7} $
三、解答题
7. 计算:
(1)$(-2a^{3})^{2}+(a^{2})^{3}-a· a^{5}$;
(2)$(a - b)^{3}· (b - a)^{3}+[2(a - b)^{2}]^{3}$.
答案：7. 解：(1) 原式 $ =4a^{6}+a^{6}-a^{6}=4a^{6} $.
(2) 原式 $ =-(a - b)^{6}+8(a - b)^{6}=7(a - b)^{6} $.
8. (2024·吴中区月考)(1)若$2÷8^{x}·16^{x}=2^{5}$,求$x$的值;
(2)已知$4×16^{m}×64^{m}=4^{21}$,求$(-m^{2})^{3}÷(m^{3}· m^{2})$的值.
答案：8. 解：(1) 因为 $ 2÷8^{x}·16^{x}=2÷2^{3x}·2^{4x}=2^{1 - 3x + 4x}=2^{1 + x}=2^{5} $，所以 $ 1 + x = 5 $，所以 $ x = 4 $.
(2) 因为 $ 4×16^{m}×64^{m}=4×4^{2m}×4^{3m}=4^{1 + 2m + 3m}=4^{1 + 5m}=4^{21} $，所以 $ 1 + 5m = 21 $，所以 $ m = 4 $，
所以 $ (-m^{2})^{3}÷(m^{3}· m^{2})=-m^{6}÷ m^{5}=-m=-4 $.
9. (2024·武进区期末)我们规定:$a^{-p}=\dfrac{1}{a^{p}}(a≠0)$,即$a$的$-p$次幂等于$a$的$p$次幂的倒数.例如,$4^{-2}=\dfrac{1}{4^{2}}$.
(1)计算:$5^{-2}=$
;$(-2)^{-2}=$
.
(2)如果$2^{-p}=\dfrac{1}{8}$,那么$p=$
;如果$a^{-2}=\dfrac{1}{16}$,那么$a=$
.
(3)如果$a^{-p}=\dfrac{1}{9}$,且$a$,$p$为整数,求满足条件的$a$,$p$的值.
答案：9. (1) $ \frac{1}{25} $ $ \frac{1}{4} $
(2) 3 $ \pm4 $
(3) 解：由于 $ a $，$ p $ 为整数，
所以当 $ a = 9 $ 时，$ p = 1 $；当 $ a = 3 $ 时，$ p = 2 $；当 $ a = -3 $ 时，$ p = 2 $.
10. 如果$a^{c}=b$,那么我们规定$(a,b)=c$,例如,因为$2^{3}=8$,所以$(2,8)=3$.
(1)根据上述规定,填空:
$(3,27)=$
3
,$(4,1)=$
0
,$(2,0.25)=$
-2
;
(2)记$(3,5)=a$,$(3,6)=b$,$(3,30)=c$.试说明:$a + b = c$.
答案：10. (1) 3 0 -2
(2) 解：因为 $ (3,5)=a $，$ (3,6)=b $，$ (3,30)=c $，
所以 $ 3^{a}=5 $，$ 3^{b}=6 $，$ 3^{c}=30 $，
所以 $ 3^{a}×3^{b}=30 $，
即 $ 3^{a}×3^{b}=3^{c} $，
所以 $ a + b = c $.
