12. (2024·江宁区期末)阅读理解:如图,从 $ ∠ AOB(90^{\circ}＜∠ AOB＜180^{\circ}) $ 的顶点出发,在 $ ∠ AOB $ 的内部作一条射线 $ OC $,将 $ ∠ AOB $ 分得的两个角 $ ∠ AOC $ 和 $ ∠ BOC $,其中至少有一个角与 $ ∠ AOB $ 互为补角,则称该射线 $ OC $ 为 $ ∠ AOB $ 的“分补线”.请解答以下问题:
(1)若 $ ∠ AOB = 140^{\circ},∠ AOC = 100^{\circ} $,请判断此时 $ OC $ 是否为 $ ∠ AOB $ 的“分补线”,并说明理由.
(2)若 $ OD $ 平分 $ ∠ AOB,OC $ 为 $ ∠ AOB $ 的“分补线”.
①当 $ OC $ 与 $ OD $ 重合时,求 $ ∠ AOB $ 的度数;
②当 $ OD $ 为 $ ∠ AOC $ 的“分补线”时,请画出图形并求出此时 $ ∠ AOB $ 的度数.
答案：12. 解：(1)OC是$∠AOB$的“分补线”.
理由：因为$∠AOB = 140^{\circ}$，$∠AOC = 100^{\circ}$，所以$∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 40^{\circ}$.
因为$∠AOB + ∠BOC = 140^{\circ}+40^{\circ}=180^{\circ}$，所以OC为$∠AOB$的“分补线”.
(2)①因为OC平分$∠AOB$，所以$∠AOC = ∠BOC = \frac{1}{2}∠AOB$.
因为OC为$∠AOB$的“分补线”，所以$\frac{1}{2}∠AOB + ∠AOB = 180^{\circ}$，所以$∠AOB = 120^{\circ}$.
②画图如答图.
设$∠BOC = α$，
因为OC为$∠AOB$的“分补线”，
所以$∠AOB + ∠BOC = 180^{\circ}$，所以$∠AOB = 180^{\circ}-α$.
因为OD平分$∠AOB$，
所以$∠AOD = ∠BOD = \frac{1}{2}(180^{\circ}-α)=90^{\circ}-\frac{α}{2}$，
所以$∠COD = ∠AOC - ∠AOD = 180^{\circ}-α-α-(90^{\circ}-\frac{α}{2})=90^{\circ}-\frac{3α}{2}$.
因为OD为$∠AOC$的分补线，
所以有两种可能：$∠AOD + ∠AOC = 180^{\circ}$或$∠COD + ∠AOC = 180^{\circ}$.
当$∠AOD + ∠AOC = 180^{\circ}$时，$90^{\circ}-\frac{α}{2}+180^{\circ}-α-α = 180^{\circ}$，解得$α = 36^{\circ}$，
所以$∠AOB = 180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$；
当$∠COD + ∠AOC = 180^{\circ}$时，$90^{\circ}-\frac{3α}{2}+180^{\circ}-α-α = 180^{\circ}$，解得$α = \frac{180^{\circ}}{7}$，
所以$∠AOB = 180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{7}=\frac{1080^{\circ}}{7}$.
综上所述，$∠AOB$的度数为$144^{\circ}$或$\frac{1080^{\circ}}{7}$.
