1. (2024·徐州期末)已知$4x + y = 1$.
(1)用含$x$的代数式表示$y$；
(2)当$y$为非负数时，求$x$的取值范围；
(3)当$-1 ＜ y ≤ 2$时，求$x$的取值范围.
答案：解: (1) 由 $ 4x + y = 1 $，得 $ y = 1 - 4x $。
(2) 因为 $ y ≥ 0 $，所以 $ 1 - 4x ≥ 0 $，解得 $ x ≤ \frac{1}{4} $。
(3) 由题意，得 $ \begin{cases} 1 - 4x ＞ -1, ① \\ 1 - 4x ≤ 2, ② \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＜ \frac{1}{2} $，
解不等式②，得 $ x ≥ -\frac{1}{4} $，
所以不等式组的解集是 $ -\frac{1}{4} ≤ x ＜ \frac{1}{2} $，
即 $ x $ 的取值范围为 $ -\frac{1}{4} ≤ x ＜ \frac{1}{2} $。
2. (2024·盐城月考)已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 1 + 2m, \\ x + 2y = 2 - m\end{cases}$的解满足不等式$x + y ＞ 0$.
(1)求$m$的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若不等式$(2m + 1)x - 2m ＜ 1$的解为$x ＞ 1$，请写出整数$m$的值.
答案：解: (1) $ \begin{cases} 2x + y = 1 + 2m, ① \\ x + 2y = 2 - m, ② \end{cases} $
① + ②，得 $ 3x + 3y = 3 + m $，
解得 $ x + y = \frac{3 + m}{3} $。
因为 $ x + y ＞ 0 $，所以 $ \frac{3 + m}{3} ＞ 0 $，解得 $ m ＞ -3 $。
(2) 因为 $ (2m + 1)x - 2m ＜ 1 $，所以 $ (2m + 1)x ＜ 2m + 1 $。
因为 $ (2m + 1)x - 2m ＜ 1 $ 的解为 $ x ＞ 1 $，所以 $ 2m + 1 ＜ 0 $，
解得 $ m ＜ -\frac{1}{2} $。
因为 $ m ＞ -3 $，所以 $ -3 ＜ m ＜ -\frac{1}{2} $，
所以整数 $ m $ 的值为 $ -2 $，$ -1 $。
3. (2024·姜堰区期末)已知不等式$5(2 + \frac{1}{5}x) ≤ 2x$和关于$x$的不等式$3x + 3 ＜ 6m$，若这两个不等式的公共解有且仅有$3$个整数解，求$m$的取值范围.
答案：解: 由 $ 5(2 + \frac{1}{5}x) ≤ 2x $，得 $ x ≥ 10 $，由 $ 3x + 3 ＜ 6m $，得 $ x ＜ 2m - 1 $，
所以不等式组的解集为 $ 10 ≤ x ＜ 2m - 1 $。
因为这两个不等式的公共解有且仅有 3 个整数解，所以 $ 12 ＜ 2m - 1 ≤ 13 $，解得 $ \frac{13}{2} ＜ m ≤ 7 $。
4. (1)若关于$x$的不等式$\frac{1}{3}x - m ＜ 0$的正整数解只有$4$个，求$m$的取值范围；
(2)已知关于$x$的不等式$3x - m ≤ 0$的正整数解有$4$个，求$m$的取值范围.
答案：解: (1) 解不等式 $ \frac{1}{3}x - m ＜ 0 $，得 $ x ＜ 3m $，因为正整数解有 4 个，所以 $ 4 ＜ 3m ≤ 5 $，解得 $ \frac{4}{3} ＜ m ≤ \frac{5}{3} $。
(2) 解不等式 $ 3x - m ≤ 0 $，得 $ x ≤ \frac{1}{3}m $，因为正整数解有 4 个，所以 $ 4 ≤ \frac{1}{3}m ＜ 5 $，解得 $ 12 ≤ m ＜ 15 $。
