二、填空题(每小题4分，共32分)
9. (2025·黑龙江中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件
AB = AD(答案不唯一)
，使平行四边形ABCD为菱形.
答案：9. AB = AD(答案不唯一) 解析:
∵ 有一组邻边相等的平行四边形为菱形,
∴ 可添加一个条件 AB = AD,使平行四边形 ABCD 为菱形.(答案不唯一)
10. 如图，用四个全等的等腰梯形拼成四边形ABCD，已知等腰梯形同一底上的两底角相等，则∠A =
60°
.
答案：10. 60° 解析:由题图可知,四个梯形是全等图形,
∴ ∠A = ∠B,∠ADC = 2∠A = ∠DCB,
∴ 6∠A = 360°,
∴ ∠A = 60°.
11. (2024·常州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是(2，1)，则点C的坐标是
(-2,-1)
.
答案：11. (-2,-1) 解析:由条件可知 A,C 两点关于点 O 成中心对称,
∴ 点 C 的坐标为(-2,-1).
12. (聊城中考)如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF // BE，交EO的延长线于点F，连接BF.若AD = 8，CE = 5，则四边形BFCE的面积为
24
.
答案：12. 24 解析:
∵ CF//BE,
∴ ∠BEO = ∠CFO.
∵ BC 的垂直平分线 EO 交 BC 于点 O,
∴ BO = CO,∠BOE = ∠COF = 90°,
∴ △BOE≌△COF,
∴ BE = CF,OE = OF,
∴ 四边形 BFCE 为平行四边形.又
∵ ∠BOE = ∠COF = 90°,
∴ 平行四边形 BFCE 为菱形.
∵ AD = 8,
∴ BC = 8,
∴ OC = 1/2 BC = 4.在 Rt△EOC 中,OE = √(EC² - OC²)=√(5² - 4²)=3,
∴ 菱形 BFCE 的面积为 1/2×BC×EF = 1/2×BC×2EO = 1/2×8×2×3 = 24.
13. (无锡中考)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG =
1
.
答案：13. 1 解析:如图,连接 AG,EG,由题意可得 AG = EG,
∵ E 是 CD 的中点,
∴ DE = CE = 4.设 CG = x,则 BG = 8 - x,在 Rt△ABG 和 Rt△GCE 中,根据勾股定理,得 AB² + BG² = CE² + CG²,即 8² + (8 - x)² = 4² + x²,解得 x = 7,
∴ BG = BC - CG = 8 - 7 = 1.
14. 如图，在梯形ABCD中，AB // CD，∠A + ∠B = 90°，CD = 7，MN = 11，点M，N分别为AB，CD的中点，则线段AB =
29
.
答案：14. 29 解析:如图,过点 D 作 DE//BC,DF//MN,
∵ 在梯形 ABCD 中,AB//CD,
∴ 四边形 DFMN 和四边形 CDEB 是平行四边形,
∴ MN = DF = 11,BE = CD = 7.
∵ N 为 DC 的中点,
∴ DN = 1/2 DC = 7/2 = FM.
∵ DE//BC,
∴ ∠B = ∠AED.
∵ ∠A + ∠B = 90°,
∴ ∠A + ∠AED = 90°,
∴ ∠ADE = 90°,即△ADE 是直角三角形.设 AB = x,则 AM = BM = 1/2 x,AF = AM - FM = 1/2 x - 7/2,EM = BM - BE = 1/2 x - 7,
∴ EF = EM + FM = 1/2 x - 7 + 7/2 = 1/2 x - 7/2,
∴ AF = EF,即点 F 为 AE 中点,
∴ DF = 1/2 AE,即 11 = 1/2(x - 7),解得 x = 29.
15. (2024·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD，AB = 5，BC = 4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B'，把纸片展平，连接BB'，CB'，当△BCB'为直角三角形时，线段CP的长为
3/2或2
.
答案：15. 3/2或2 解析:
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BCD = ∠ADC = ∠ABC = ∠BAD = 90°,AB = CD = 5,AD = BC = 4.当∠BCB' = 90°时,如图①所示.
∵ ∠BCD = 90°,
∴ 点 B'在 CD 上.根据折叠可知 AB' = AB = 5,BP = B'P.设 CP = x,则 BP = B'P = 4 - x,
∴ DB' = √(AB'² - AD²)=√(5² - 4²)=3,CB' = DC - DB' = 5 - 3 = 2.在 Rt△CB'P 中,根据勾股定理得 B'P² = B'C² + CP²,即(4 - x)² = 2² + x²,解得 x = 3/2,即 CP = 3/2.
当∠BB'C = 90°时,如图②所示.根据折叠可知 BP = B'P,
∴ ∠PBB' = ∠PB'B.
∵ ∠PBB' + ∠BCB' = 90°,∠PB'B + ∠PB'C = 90°,
∴ ∠BCB' = ∠CB'P,
∴ PC = PB',
∴ PC = PB.
∵ BC = BP + PC = 4,
∴ CP = 2.综上,CP = 3/2或 CP = 2.
16. 在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，以下结论：①存在且仅有一个四边形EFGH是菱形；②存在无数个四边形EFGH是平行四边形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形.其中正确的是
②③④
.(填序号)
答案：16. ②③④ 解析:如图所示.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,连接 AC,BD 交于点 O,过点 O 作直线 EG 和 HF,分别交 AB,BC,CD,AD 于点 E,F,G,H.
∵ ∠AOE = ∠COG,AO = CO,∠OAE = ∠OCG,
∴ △AEO≌△CGO,
∴ AE = CG,OE = OG,同理可得 OH = OF,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形,
∴ 存在无数个四边形 EFGH 是平行四边形,故②正确;当 EG = HF 时,四边形 EFGH 是矩形,
∴ 存在无数个四边形 EFGH 是矩形,故③正确;当 EG⊥HF 时,四边形 EFGH 是菱形,
∴ 存在无数个四边形 EFGH 是菱形,故①不正确;当四边形 EFGH 是正方形时,EH = HG,∠EHG = 90°,
∴ ∠AEH = ∠DHG.
∵ ∠EAH = ∠HDG = 90°,
∴ △AEH≌△DHG,
∴ AE = HD,AH = GD.
∵ AE = CG,
∴ DG = BE,
∴ AB = AD,
∴ 四边形 ABCD 是正方形.当四边形 ABCD 是正方形时,四边形 EFGH 是正方形,故④正确,
∴ 正确的有②③④.
三、解答题（共44分）
17. （6分）（2025·浙江中考）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上.
【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE ≌ △CBE的证明过程；
（2）若裁剪过程中满足DE = DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
答案：17. (1)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB = CB,∠ABD = ∠CBD.又
∵ BE = BE,
∴ △ABE≌△CBE(SAS).
(2)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠BAD = 90°,∠ADB = 45°.
∵ DE = DA,
∴ ∠DAE = ∠DEA.
∵ ∠DAE + ∠DEA + ∠ADE = 180°,
∴ ∠DAE = ∠DEA = 67.5°,
∴ ∠BAE = ∠BAD - ∠DAE = 22.5°.
