专题提优 10 梯形的中位线
类型一 梯形中位线定理的验证
1. 在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路.
【知识回顾】例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决.
【实践操作】（1）如图②，在梯形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$F$ 是腰 $DC$ 的中点，请你沿着 $AF$ 将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形.
【数学发现】（2）如图③，在梯形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$E$，$F$ 分别是两腰 $AB$，$DC$ 的中点，我们把 $EF$ 叫作梯形 $ABCD$ 的中位线. 请类比三角形的中位线的性质，猜想 $EF$ 和 $AD$，$BC$ 有怎样的位置和数量关系？
【证明猜想】（3）请结合“实践操作”完成猜想的证明.
答案：$(1)$实践操作
将$△ ADF$绕点$F$旋转$180^{\circ}$，使$DF$与$CF$重合，即可拼成一个完整的三角形。
$(2)$数学发现
猜想：$EF// AD// BC$，$EF = \frac{1}{2}(AD + BC)$。
$(3)$证明猜想
解：如图，连接$AF$并延长交$BC$的延长线于点$G$。
步骤一：证明$△ ADF≌△ GCF$
因为$AD// BC$，所以$∠ DAF=∠ G$，$∠ D=∠ FCG$。
又因为$F$是$DC$的中点，即$DF = CF$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$△ ADF≌△ GCF$。
步骤二：推导$EF$与$AD$、$BC$的关系
由$△ ADF≌△ GCF$可得$AD = CG$，$AF = FG$。
因为$E$是$AB$的中点，所以$EF$是$△ ABG$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
所以$EF// BG$，$EF=\frac{1}{2}BG$。
又因为$BG=BC + CG$，$AD = CG$，所以$EF// AD// BC$，$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$。
综上，$EF$与$AD$、$BC$的位置关系是$EF// AD// BC$，数量关系是$EF = \frac{1}{2}(AD + BC)$。
2. 如图，梯形 $
ABCD$ 中，$∠ D = 90^{\circ}$，$AB // CD$，将线段 $CB$ 绕着点 $B$ 按顺时针方向旋转，使点 $C$ 落在 $CD$ 延长线上的点 $
E$ 处. 连接 $AE$，$BE$，设 $BE$ 与边 $AD$ 交于点 $
F$，如果 $AB = 4$，且 $\frac{
S_{△ AEF}}{S_{△ ABF}} = \frac{1}{2}$，那么梯形 $ABCD$ 的中位线等于
7
.
答案：2. 7 解析:过点B作BM⊥CE于点M,如图.
∵AB//CD,
∠ADC=90°,
∴∠ADE=180°-∠ADC=90°,∠DAB=180°-∠ADC=90°.
∵$\frac{S_{△AEF}}{S_{△ABF}}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{S_{△AEF}}{S_{△ABF}}=\frac{\frac{1}{2}DE· AF}{\frac{1}{2}AF· AB}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵AB=4,
∴DE=2.
∵BM⊥CE,
∴∠BMD=90°,
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4,
∴EM=2+4=6.
∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处,
∴BE=BC.
∵BM⊥CE,
∴EC=2EM=12,
∴CD=12 - 2=10,
∴梯形ABCD的中位线为$\frac{1}{2}$×(4+10)=7.
3. 一把梯子如图所示，其中四边形 $AKLB$ 是梯形. 已知 $AC = CE = EG = GK$，$BD = DF = FH = HL$，$AB = 0.5\ \mathrm{m}$，$GH = 0.74\ \mathrm{m}$，求 $CD$，$EF$ 的长.
答案：3.
∵AC=CE=EG=GK,AC+CE=AE,EG+GK=EK,
∴AE=EK,同理,可得BF=FL,
∴EF是梯形AKLB的中位线,
∴EF//AB//KL,EF=$\frac{1}{2}$(AB+KL),同理,可得GH=$\frac{1}{2}$(EF+KL),CD=$\frac{1}{2}$(EF+AB).
∵AB=0.5m,GH=0.74m,
∴EF=$\frac{1}{2}$(AB+KL)=$\frac{1}{2}$(0.5+KL)=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$KL.
∵GH=$\frac{1}{2}$(EF+KL),
∴0.74=$\frac{1}{2}$×$(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}KL+KL)$,解得KL=0.82,
∴EF=$\frac{1}{2}$(AB+KL)=$\frac{1}{2}$×(0.5+0.82)=0.66(m),
∴CD=$\frac{1}{2}$(EF+AB)=$\frac{1}{2}$×(0.66+0.5)=0.58(m),
∴CD=0.58m,EF=0.66m.
4. 如图，直线 $l$ 为 $□ ABCD$ 外的任意一条直线，过 $A$，$B$，$C$，$D$ 分别作直线 $l$ 的垂线段 $BE$，$AF$，$CG$，$DH$，请探索线段 $BE$，$AF$，$CG$，$DH$ 之间的数量关系，并说明理由.
答案：4. BE+HD=AF+CG.理由:连接AC,BD相交于点O,过点O作OP⊥l于点P,如图.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵OP⊥l,BE⊥l,DH⊥l,AF⊥l,CG⊥l,
∴BE//AF//OP//CG//DH,
∴PE=PH,PF=PG,
∴OP是梯形BEHD的中位线,OP是梯形AFGC的中位线，
∴OP=$\frac{1}{2}$(BE+HD)=$\frac{1}{2}$(AF+CG),
∴BE+HD=AF+CG.
