答案：
8. C 解析:
∵平行四边形的两组对边分别相等,且$ S_2 $,$ S_4 $的高的和是AD,BC间的距离,它们的底分别是AD,BC,而AD=BC,
∴$ S_2+S_4=\frac{1}{2}S_{□ ABCD} $.同理可得$ S_1+S_3=\frac{1}{2}S_{□ ABCD} $,
∴$ S_1+S_3=S_2+S_4 $.故选C.
归纳总结 平行四边形中的面积问题
模型展示 模型结论
$ S _ { 3 } = S _ { 1 } + S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } S _ { □ A B C D } $
$ S _ { 1 } + S _ { 3 } = S _ { 2 } + S _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 } S _ { □ A B C D } $
$ S _ { 2 } = S _ { 1 } + S _ { 3 } + S _ { 4 } $（由$ \frac { 1 } { 2 } S _ { □ A B C D } = S _ { 2 } + S _ { 5 } + S _ { 6 } = ( S _ { 4 } + S _ { 5 } + S _ { 3 } ) + ( S _ { 1 } + S _ { 6 } ) $可推得）
①$ S _ { 1 } : S _ { 2 } = S _ { 3 } : S _ { 4 } $;②$ S _ { 1 } = S _ { 4 } $;③BD平分$ S _ { 2 } $,$ S _ { 3 } $
点O在BD上, EF//AB,GH//AD
①$ S _ { 1 } : S _ { 2 } = S _ { 3 } : S _ { 4 } $;②$ S _ { △ A O C } = \frac { | S _ { 2 } - S _ { 3 } | } { 2 } $（当$ S _ { 2 } ＞ S _ { 3 } $时,结论②由$ \frac { 1 } { 2 } S _ { □ A B C D } = S _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } S _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } S _ { 4 } + S _ { △ A O C } $和$ \frac { 1 } { 2 } S _ { □ A B C D } = S _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } S _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } S _ { 4 } - S _ { △ A O C } $推得,当$ S _ { 3 } ＞ S _ { 2 } $时同理）
点0在四边形内任意位置,EF//AB,GH//AD

答案：
9. (1,4) 解析:如图,作OC'⊥OC,过点C作CE⊥x轴于E,过点C'作C'F⊥y轴于F,设点C(x,y),
∵□ABOC的顶点A(-5,4),B(-1,3),点O(0,0),
∴点B先向右平移一个单位,再向下平移三个单位得到点O,
∴点A先向右平移一个单位,再向下平移三个单位得到点C,
∴点C(-4,1),
∴CE=1,EO=4.
∵将□ABOC绕原点O顺时针旋转90°,
∴CO=C'O,∠COC'=90°=∠EOF,
∴∠COE=∠C'OF.
∵CE⊥x轴,C'F⊥y轴,
∴∠CEO=∠C'FO=90°,
∴△CEO≌△C'FO(AAS),
∴CE=C'F=1,EO=FO=4,
∴点C'(1,4).

答案：10. 126° 解析:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,∠A=∠C,由折叠得∠ABE=∠A'BE=∠CBF,∠A'EB=∠AEB,∠BEF=∠C=∠A,
∴∠A'EB=∠AEB=∠EBC=2∠A'BE=2∠ABE.
∵EF⊥EA',
∴∠A'EF=90°,
∴∠BEF-∠A'EB=90°,
∴∠A-2∠ABE=90°.
∵∠A=180°-∠ABC=180°-3∠ABE,
∴180°-3∠ABE-2∠ABE=90°,
∴∠ABE=18°,
∴∠AEB=2∠ABE=2×18°=36°,
∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=180°-18°-36°=126°.

答案：
11. (1)∠BCE=∠BAE.证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD.
∵AE⊥AD,CE⊥CD,
∴∠EAD=∠ECD=90°,
∴∠BCD-∠ECD=∠BAD-∠EAD,即∠BCE=∠BAE.
(2)如图,延长AE交BC于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB=CD,
∴∠BFA=∠EAD=90°,
∴∠AFC=90°=∠BFA.
∵∠BEA=135°,
∴∠BEF=180°-∠BEA=180°-135°=45°.在Rt△BFE中,∠EBF=90°-∠BEF=90°-45°=45°=∠BEF.
∴BF=EF.
∵∠BCE=∠BAE,∠AFC=∠BFA,
∴△ABF≌△CEF(AAS),
∴AB=CE.
∵AB=CD,
∴CE=CD.

(3)6 解析:在Rt△BFE中,∠BFE=90°,由勾股定理可得,$ B F ^ { 2 } + E F ^ { 2 } = B E ^ { 2 } $.
∵BF=EF且$ B E = \sqrt { 2 } $,
∴BF=EF=1,
∴AF=EF+AE=2.
∵△ABF≌△CEF,
∴FC=AF=2,
∴BC=BF+FC=3,□ABCD的面积=BC×AF=6.

答案：
12. (1)40°或100° 解析:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCA=∠CAD=40°.分两种情况:如图①,当AB=BC时,即∠BAC=∠BCA=40°,∠B=180°-40°×2=100°,
∴∠ADC=∠B=100°;如图②,当AB=AC时,即∠B=∠BCA=40°,
∴∠ADC=∠B=40°.
综上所述,∠ADC的度数为40°或100°.

答案：
(2)$ \sqrt { 7 } $或5 解析:分两种情况:如图①,
∵∠ACB=90°,AB=4,AC=3,
∴$ B C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } - A C ^ { 2 } = 16 - 9 = 7 $,
∴AD=BC=$ \sqrt { 7 } $;如图②,
∵∠BAC=90°,AB=4,AC=3,
∴$ B C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + A C ^ { 2 } = 16 + 9 = 25 $,
∴AD=BC=5.
综上所述,AD=$ \sqrt { 7 } $或5.

答案：
13. (1)①10 解析:如图①,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,
∴∠DEA=∠EAB.
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠EAB,
∴∠DAE=∠DEA,
∴DE=AD=5.同理可得BC=CF=5.
∵点E与点F重合,
∴AB=CD=DE+CF=10.

②5 解析:如图②,点E与点C重合,同①可得,DE=AD=5.
∵CF=BC=5,
∴点F与点D重合,
∴EF=DC=5.
(2)分三种情况:
①如图③,
∵AD=DE=EF=CF,
∴$ \frac { A D } { A B } = \frac { 1 } { 3 } $.

②如图④,
∵AD=DE=CF,DF=FE=CE,
∴$ \frac { A D } { A B } = \frac { 2 } { 3 } $.

③如图⑤,
∵AD=DE=CF,FD=DC=CE,
∴$ \frac { A D } { A B } = 2 $.
综上所述,$ \frac { A D } { A B } $的值为$ \frac { 1 } { 3 } $或$ \frac { 2 } { 3 } $或2.
技法点拨 本题图中隐含着一个重要的基本几何模型,即角平分线和平行线结合在一起时会出现等腰三角形,因此我们在几何分析时一定要注意挖掘出图中的基本几何图形.