1. (2024·南京期末)如图，在四边形 $ABCD$ 中， $E,F,G,H$ 分别是 $AD,BC,BD,AC$ 的中点. 下列结论：
①四边形 $EGFH$ 是平行四边形；
②当 $AB = CD$ 时，四边形 $EGFH$ 是菱形；
③当 $AC⊥ BD$ 时，四边形 $EGFH$ 是矩形.
其中所有正确结论的序号是(
A
)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案：1. A 解析:①
∵E,G分别是AD,BD的中点，
∴EG是△DAB 的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB，EG//AB。同理，FH=$\frac{1}{2}$AB，FH//AB，
∴EG=FH，EG//FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，故①正确，符合题意；②
∵F,G分别是BC,BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG=$\frac{1}{2}$CD，FG//CD。当AB=CD时，EG=FG，
∴四边形EGFH是菱形，故②正确，符合题意；③
∵HF//AB，
∴∠HFC=∠ABC。
∵FG//CD，
∴∠GFB=∠DCB。当AB⊥CD时，∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠HFC+∠GFB=90°，
∴∠GFH=90°，
∴平行四边形EGFH是矩形。
∴当AC⊥BD时，四边形EGFH不一定是矩形，故③错误，不符合题意。故选A。
2. (2025·扬州期末)如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$， $AD⊥ BD$，点 $E$ 是 $CD$ 的中点，过点 $E$ 作 $EF// BD$，交 $BC$ 于点 $F$.
(1) 求证：四边形 $OEFB$ 是矩形；
(2) 若 $AD = 4$， $DC = 6$，求四边形 $OEFB$ 的面积.
答案：2. (1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AD//BC。又
∵点E是CD的中点，
∴EO是△BCD的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，OE//BC。
∵EF//BD，OE//BC，
∴四边形OEFB是平行四边形。
∵AD⊥BD，即∠ADB=90°，AD//BC，
∴∠CBD=∠ADB=90°，
∴四边形OEFB是矩形。
(2)
∵OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，AD=4，
∴OE=2。
∵四边形ABCD是平行四边形，DC=6，
∴AB=DC=6。在Rt△ABD中，AB=6，AD=4，∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}$，
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，
∴四边形OEFB的面积是OE·OB = 2×$\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$。
3. (2025·南京期末)如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 为边 $AD$ 上一点，以 $CE$ 为边作正方形 $CEFG$. 过点 $B$ 作 $BH⊥ CE$，垂足为 $P$，交 $CD$ 于点 $H$. 连接 $BE,FH$.
(1) 求证：四边形 $BEFH$ 是平行四边形；
(2) 若四边形 $BEFH$ 是菱形，则 $\frac{EF}{AD}=$
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
.
答案：3. (1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠BCP+∠DCE=90°。
∵BH⊥CE于点P，
∴∠BPC=90°，
∴∠BCP+∠CBH=90°，
∴∠DCE=∠CBH，
∴△DCE≌△CBH(ASA)，
∴CE=BH。
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE=EF=FG=GC，∠CEF=∠EFG=∠FGC=∠GCE=90°，
∴EF=BH，∠CEF=∠CPH=90°，
∴EF=BH，EF//BH，
∴四边形BEFH是平行四边形。
(2)$\frac{\sqrt{5}}{2}$ 解析:
∵△DCE≌△CBH(ASA)，
∴CE=BH，DE=CH。
∵四边形BEFH是菱形，
∴BE=BH=EF。
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠BAE=∠BCH=90°，
∴△BAE≌△BCH(HL)，
∴AE=CH，
∴AE=DE，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$AB，
∴BE = $\sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{5}AE$，
∴EF=BE=$\sqrt{5}AE$，
∴ $\frac{EF}{AD} = \frac{\sqrt{5}AE}{2AE} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
4. (2025·扬州期末)如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 3$， $E$ 为 $CD$ 上一动点， $AE$ 交 $BD$ 于 $F$，过 $F$ 作 $FH⊥ AE$ 交 $BC$ 于点 $H$，过 $H$ 作 $HG⊥ BD$ 于 $G$，连接 $AH$. 在下面四个结论中：① $∠ HAE = 45^{\circ}$；② $AF = HE$；③ $FG=\frac{3\sqrt{2}}{2}$；④ $FH=\sqrt{2}$. 其中正确的结论有(
A
)
A.①③
B.③④
C.②③
D.②④
答案：4. A 解析:①连接FC，如图①，延长HF交AD于点L。
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°。
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF。
∵∠ALH+∠LAF=90°，AD//BC，
∴∠ALH=∠LHC，
∴∠LHC+∠DAF=90°。
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴FH=AF。
∵FH＜EH，
∴AF≠HE，故②错误；
∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°，故①正确；
③如图②，连接AC交BD于J。
∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AJ⊥BD，AJ = BJ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
∵AF=HF，AF⊥HF，
∴∠FAJ+∠AFG=90°=∠AFJ+∠HFG，
∴∠FAJ=∠HFG。
∵GH⊥BD，
∴∠AJF=∠HGF=90°，
∴△AFJ≌△FHG，
∴FG=AJ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故③正确；④
∵E是动点，则F是动点，AF的长度是变化的，
∴FH的长度是变化的，故④错误。综上，①③正确。故选A。
