16. 新题型 新定义(2025·宁波期中)定义：对于一组关于$x$的多项式$x + a$，$x + b$，$x + c$，$x + d$，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数$p$时(不含字母$x$)，称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数$p$的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子。若多项式$x + n$，$x + \sqrt{5}$，$x + \sqrt{5}-1$，$x + \sqrt{5}+1$是一组黄金多项式，黄金因子为 2，则$n$的值为
$\sqrt{5}\pm2$
。
答案：16. $\sqrt{5}\pm2$ 解析:若多项式$x + n$, $x+\sqrt{5}$, $x+\sqrt{5}-1$, $x+\sqrt{5}+1$(n是有理数)是一组黄金多项式,有三种情况,①$(x + n)(x+\sqrt{5})-(x+\sqrt{5}+1)(x+\sqrt{5}-1)=x^2+(\sqrt{5}+n)x+\sqrt{5}n-x^2-2\sqrt{5}x-5 + 1=(n - \sqrt{5})x+\sqrt{5}n - 4$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}=0$,
∴ $n=\sqrt{5}$,此时$\vert\sqrt{5}n - 4\vert = 1$舍去;②$(x + n)(x+\sqrt{5}+1)-(x+\sqrt{5})(x+\sqrt{5}-1)=x^2+(\sqrt{5}+1+n)x+(\sqrt{5}+1)n-x^2-(2\sqrt{5}-1)x-5+\sqrt{5}=(n - \sqrt{5}+2)x+(\sqrt{5}+1)n-5+\sqrt{5}$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}+2 = 0$,
∴ $n=\sqrt{5}-2$.此时$\vert(\sqrt{5}+1)n-5+\sqrt{5}\vert=\vert - 2\vert = 2$,符合题意;③$(x + n)(x+\sqrt{5}-1)-(x+\sqrt{5})(x+\sqrt{5}+1)=x^2+(\sqrt{5}-1+n)x+(\sqrt{5}-1)n-x^2-(2\sqrt{5}+1)x-5-\sqrt{5}=(n - \sqrt{5}-2)x+(\sqrt{5}-1)n-5-\sqrt{5}$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}-2 = 0$,
∴ $n=\sqrt{5}+2$.此时$\vert(\sqrt{5}-1)n-5-\sqrt{5}\vert=\vert - 2\vert = 2$.综上所述,n的值为$\sqrt{5}\pm2$.
三、解答题（共 44 分）
17. （8 分）计算：
（1）$\sqrt{18}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{3a^{2}}÷3\sqrt{\dfrac{a}{2}}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}(a ＞ 0)$；
（3）$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$；
（4）$-1^{2025}+(-\dfrac{1}{2})^{-2}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{48}+1-\sqrt{2}+(π - 3)^{0}$。
答案：17. (1)原式$=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.
(2)原式$=\sqrt{3a^2}×\sqrt{\frac{2}{9a}}×\sqrt{\frac{a}{6}}=\sqrt{3a^2·\frac{2}{9a}·\frac{a}{6}}=\frac{a}{3}$.
(3)原式$=5 - 3-(12 - 4\sqrt{6}+2)=2 - 14 + 4\sqrt{6}=4\sqrt{6}-12$.
(4)原式$=-1 + 4-\frac{\sqrt{3}}{3}×4\sqrt{3}+\sqrt{2}-1 + 1=-1 + 4-4+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$.
18. （4 分）如图，长方体的底面积为 20，长、宽、高的比为$4:2:\sqrt{5}$。
（1）求这个长方体的高；
（2）求这个长方体的表面积。
答案：18. (1)设长方体的长为$4x$,宽为$2x$,高为$\sqrt{5}x$,由题意得$4x·2x = 20$, $x=\frac{\sqrt{10}}{2}$,
∴高为$\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(2)此长方体的长为$4×\frac{\sqrt{10}}{2}=2\sqrt{10}$,宽为$2×\frac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$,表面积为$2×(20 + 2\sqrt{10}×\frac{5\sqrt{2}}{2}+\sqrt{10}×\frac{5\sqrt{2}}{2})=40 + 30\sqrt{5}$.
19. （6 分）先化简，再求值：
（1）$\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$，将你喜欢的$x$值代入求值。
（2）已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，求$\dfrac{a^{2}-2a + 1}{a - 1}-\dfrac{\sqrt{a^{2}-2a + 1}}{a^{2}-a}$的值。
答案：19. (1)原式$=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}+6×\frac{\sqrt{x}}{2}-2x·\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$,取$x ＞ 0$的值即可,如:当$x = 4$时,原式$=3\sqrt{4}=6$.
(2)
∵ $a=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,
∴ $\frac{1}{a}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$, $a - 1=\sqrt{3}-\sqrt{2}-1 ＜ 0$,
∴ $\frac{a^2 - 2a + 1}{a - 1}-\frac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a}=\frac{(a - 1)^2}{a - 1}+\frac{a - 1}{a(a - 1)}=a - 1+\frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{3}-1$.
20. （6 分）如图，数轴上与$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$对应的点分别是$A$，$B$。点$B$关于点$A$的对称点为$C$，设点$C$表示的数为$x$，求：
（1）$x$的值；
（2）$(17 + 4\sqrt{15})x^{2}-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2$的值。
答案：20. (1)
∵ 数轴上与$\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$对应的点分别是A,B,
∴ $AB=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.又$AC = AB$,
∴ $\sqrt{3}-x=\sqrt{5}-\sqrt{3}$,
∴ $x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$.
(2)
∵ $x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$,
∴ $x^2=(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=17 - 4\sqrt{15}$,
∴ $(17 + 4\sqrt{15})x^2-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2=(17 + 4\sqrt{15})(17 - 4\sqrt{15})-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5})-2=289 - 240-12 + 5-2 = 40$.
