10. 若$a^{2}-3ab + b^{2}=0$，且$a＞b＞0$，则$\frac{b + a}{b - a}$的值为(
D
)
A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$-\sqrt{5}$
答案：10. D 解析：$\because a^{2}-3ab + b^{2}=0$，$\therefore a^{2}-2ab + b^{2}=ab$，$a^{2}+2ab + b^{2}=5ab$，$\therefore(b - a)^{2}=ab$，$(b + a)^{2}=5ab$，$\therefore b - a=\pm\sqrt{ab}$，$b + a=\pm\sqrt{5ab}$. $\because a＞b＞0$，$\therefore b - a=-\sqrt{ab}$，$b + a=\sqrt{5ab}$，$\therefore\frac{b + a}{b - a}=\frac{\sqrt{5ab}}{-\sqrt{ab}}=-\sqrt{5}$. 故选 D.
11. 已知$x = 9 - 2y$，则$3\sqrt{x - 2y}÷\sqrt{4x^{2}-16y^{2}}=$
$\frac{1}{2}$
。
答案：11. $\frac{1}{2}$ 解析：$\because x = 9 - 2y$，$\therefore x + 2y = 9$，$\therefore3\sqrt{x - 2y}÷\sqrt{4x^{2}-16y^{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x - 2y}{(x + 2y)(x - 2y)}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{x + 2y}}=\frac{3}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$.
解析：
$\because x = 9 - 2y$，$\therefore x + 2y = 9$，
$\therefore 3\sqrt{x - 2y}÷\sqrt{4x^{2}-16y^{2}}$
$=3\sqrt{x - 2y}÷\sqrt{4(x^{2}-4y^{2})}$
$=3\sqrt{x - 2y}÷[2\sqrt{(x + 2y)(x - 2y)}]$
$=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x - 2y}{(x + 2y)(x - 2y)}}$
$=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{x + 2y}}$
$=\frac{3}{2}×\sqrt{\frac{1}{9}}$
$=\frac{3}{2}×\frac{1}{3}$
$=\frac{1}{2}$
12. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 3$，若点$E$是边$CD$的中点，连接$AE$，过点$B$作$BF⊥ AE$于点$F$，则$AE· BF$的值为
6
。
答案：12. 6 解析：如图，连接 BE，在矩形 ABCD 中，$\because AB = 2$，$BC = 3$，
$\therefore CD = AB = 2$，$AD = BC = 3$，$∠ C=∠ D = 90^{\circ}$. $\because E$ 是边 CD 的中点，$\therefore CE = DE=\frac{1}{2}CD = 1$，$\therefore AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{10}$. $\because S_{△ ADE}+S_{△ BCE}+S_{△ ABE}=S_{矩形ABCD}$，$BF⊥ AE$，$\therefore\frac{1}{2}AD· DE+\frac{1}{2}BC· CE+\frac{1}{2}AE· BF = AB· BC$，即 $\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×\sqrt{10}BF = 2×3$，解得 $BF=\frac{6}{\sqrt{10}}$，$\therefore AE· BF=\sqrt{10}×\frac{6}{\sqrt{10}} = 6$.
13. 计算：
（1）$\frac{-\sqrt{45y^{2}}}{3\sqrt{5y}}(y＞0)$；
（2）$\sqrt{\frac{2}{45}}÷\frac{3}{2}\sqrt{1\frac{3}{5}}$；
（3）$\frac{1}{2}a\sqrt{ab^{2}}÷4a\sqrt{\frac{a}{b}}(a＞0,b＞0)$。
答案：13. (1) 原式 $=-\frac{1}{3}·\sqrt{9y}=-\sqrt{y}$.
(2) 原式 $=\sqrt{\frac{2}{45}}÷\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}×\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{2}{45}}÷\sqrt{\frac{18}{5}}=\sqrt{\frac{2}{45}×\frac{5}{18}}=\frac{1}{9}$.
(3) 原式 $=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}· ab^{2}}÷\sqrt{(4a)^{2}·\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b^{2}}{4}}÷\sqrt{\frac{16a^{3}}{b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b^{2}}{4}·\frac{b}{16a^{3}}}=\frac{b}{8}\sqrt{b}$.
14. （1）已知$y=\frac{\sqrt{(x - 1)^{2}}}{x - 1}+3$，若$x＜1$，求$y·\sqrt{3y}÷\sqrt{\frac{1}{y^{4}}}·\sqrt{\frac{1}{y}}$的值；
答案：14. (1) $\because x＜1$，$\therefore y=\frac{|x - 1|}{x - 1}+3=\frac{-(x - 1)}{x - 1}+3 = 2$. 原式 $=y·\sqrt{3y}·\sqrt{y^{4}}·\sqrt{\frac{1}{y}}=\sqrt{3}y^{3}$. 当 $y = 2$ 时，原式 $=8\sqrt{3}$.
（2）已知$y=\sqrt{2x - 5}+\sqrt{10 - 4x}+1$，$x$，$y$均为实数，求$x\sqrt{2x}÷\sqrt{\frac{x}{y}}$的值；
答案：(2) 由题意，得 $\begin{cases}2x - 5≥0,\\10 - 4x≥0,\end{cases}$ 解得 $x=\frac{5}{2}$，$\therefore y = 1$. $\because x\sqrt{2x}÷\sqrt{\frac{x}{y}}=x\sqrt{2x÷\frac{x}{y}}=x\sqrt{2y}$，$\therefore$ 当 $x=\frac{5}{2}$，$y = 1$ 时，原式 $=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
（3）已知$\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}}=\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，且$x$为偶数，求$(1 + x)·\sqrt{\frac{1 - 2x + x^{2}}{x^{2}-1}}$的值。
答案：(3) 由题意，得 $\begin{cases}9 - x≥0,\\x - 6＞0,\end{cases}$ 解得 $6＜x≤9$. $\because x$ 为偶数，$\therefore x = 8$，$\therefore(1 + x)·\sqrt{\frac{1 - 2x + x^{2}}{x^{2}-1}}=(1 + x)·\sqrt{\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{\frac{(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}}=\sqrt{(x + 1)(x - 1)}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$.
15. 原创题 阅读下列材料，回答问题。
我们知道一次函数$y = kx + b(k≠0,k,b$是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成$Ax + By + C = 0(A^{2}+B^{2}≠0,A,B,C$是常数)的形式，点$P(x_{0},y_{0})$到直线$Ax + By + C = 0$的距离可用公式$d=\frac{Ax_{0}+By_{0}+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$计算。
根据以上材料解答下列问题：
（1）求点$Q(-1,3)$到直线$y = 2x - 5$的距离；
（2）直线$x+\sqrt{6}y = 5$沿$y$轴向上平移$7$个单位长度得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离。
答案：15. (1) $y = 2x - 5$ 可变形为 $2x - y - 5 = 0$，即 $A = 2$，$B = - 1$，$C = - 5$，$\therefore$ 点 $Q(-1,3)$ 到直线 $2x - y - 5 = 0$ 的距离 $d=\frac{|2×(-1)+(-1)×3 - 5|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，$\therefore$ 点 $Q(-1,3)$ 到直线 $y = 2x - 5$ 的距离为 $2\sqrt{5}$.
(2) 将 $y = 0$ 代入 $x+\sqrt{6}y = 5$ 得 $x = 5$，$\therefore$ 点 $(5,0)$ 在直线 $x+\sqrt{6}y = 5$ 上，将点 $(5,0)$ 沿 $y$ 轴向上平移 7 个单位长度得点 $(5,7)$，$\therefore$ 点 $(5,7)$ 在平移后的直线上，$\because x+\sqrt{6}y = 5$ 可变形为 $x+\sqrt{6}y - 5 = 0$，$\therefore$ 点 $(5,7)$ 到直线 $x+\sqrt{6}y - 5 = 0$ 的距离为 $d=\frac{|1×5+\sqrt{6}×7 - 5|}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{6})^{2}}}=\frac{7\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\sqrt{42}$. $\because$ 两直线平行，$\therefore$ 这两条平行直线之间的距离为 $\sqrt{42}$.
