1. 下列关于 $ x $ 的方程是分式方程的是 (
D
)
A.$\frac{3 + x}{2} = 1 - \frac{x}{3}$
B.$\frac{x + 1}{5 + a} = 2 + x$
C.$\frac{3 + x}{π} + \frac{x}{2} = 1$
D.$\frac{2x}{x^2 + 2} = 5$
答案：1. D 解析:分母中含有未知数x的方程是关于x的分式方程,故选D.
2. (2024·济宁中考)解分式方程 $ 1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x} $ 时，去分母变形正确的是 (
A
)
A.$ 2 - 6x + 2 = -5 $
B.$ 6x - 2 - 2 = -5 $
C.$ 2 - 6x - 1 = 5 $
D.$ 6x - 2 + 1 = 5 $
答案：2. A 解析:方程两边同乘$(2-6x)$可得$2-6x+2=-5$.故选A.
3. (1)(2025·连云港中考改编)分式方程 $\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x}$ 的解是
$x=-3$
。
答案：3. (1)$x=-3$ 解析:方程两边同乘$x(x+1)$可得$2x=3(x+1)$,解得$x=-3$,经检验,得$x=-3$是原分式方程的解.
(2)(2024·武汉中考)分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 1}$ 的解是
$x=-3$
。
答案：(2)$x=-3$ 解析:方程两边同乘$(x-3)(x-1)$可得$x(x-1)=(x-3)(x+1)$,解得$x=-3$,经检验,得$x=-3$是原分式方程的解.
4. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x - a} - \frac{3}{x} = 0$ 的解为 $ x = 3 $，则 $ a $ 的值为
1
。
答案：4. 1 解析:将$x=3$代入原分式方程得$\frac{2}{3-a}-1=0$,方程两边同乘$(3-a)$可得$2-3+a=0$,解得$a=1$,经检验,$a=1$是分式方程$\frac{2}{3-a}-1=0$的解.
解析：
将$x = 3$代入分式方程$\frac{2}{x - a} - \frac{3}{x} = 0$，得$\frac{2}{3 - a} - \frac{3}{3} = 0$，即$\frac{2}{3 - a} - 1 = 0$。方程两边同乘$(3 - a)$，得$2 - (3 - a) = 0$，化简得$2 - 3 + a = 0$，解得$a = 1$。经检验，当$a = 1$时，$3 - a = 2 ≠ 0$，所以$a = 1$是原方程的解。
1
5. 教材变式 解分式方程：
(1)(苏州中考)$\frac{x}{x + 1} + \frac{3}{x} = 1$；
(2)(南通中考)$\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3x + 3} + 1$；
(3)(青海中考)$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^2 - 4x + 4}$。
答案：5. (1)方程两边同乘$x(x+1)$,得$x^{2}+3(x+1)=x(x+1)$,解得$x=-\frac{3}{2}$.检验:当$x=-\frac{3}{2}$时,$x(x+1)≠0$,$\therefore x=-\frac{3}{2}$是该分式方程的解.
(2)方程两边同乘$3(x+1)$,得$3x=2x+3x+3$,解得$x=-\frac{3}{2}$.检验:当$x=-\frac{3}{2}$时,$3(x+1)≠0$,$\therefore x=-\frac{3}{2}$是该分式方程的解.
(3)方程两边同乘$(x-2)^{2}$,得$x(x-2)-(x-2)^{2}=4$,解得$x=4$.检验:当$x=4$时,$(x-2)^{2}≠0$,$\therefore x=4$是该分式方程的解.
答题规范 解分式方程的一般步骤:①方程两边同乘最小公分母化为整式方程;②解整式方程;③将整式方程的解代入最简公分母进行“验根”.
6. 某同学解关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x - 3}{x - 2} + 6 = \frac{m}{x - 2}$，去分母时，由于常数 $ 6 $ 漏乘了公分母，最后解得 $ x = -1 $，试求 $ m $ 的值，并求出该分式方程正确的解。
答案：6. 由题意得,$x=-1$是该同学去分母后得到的整式方程$x-3+6=m$的解,代入解得$m=2$,即$\frac{x-3}{x-2}+6=\frac{2}{x-2}$.方程两边同乘$(x-2)$,得$x-3+6(x-2)=2$,解得$x=\frac{17}{7}$.检验:当$x=\frac{17}{7}$时,$x-2≠0$,$\therefore x=\frac{17}{7}$是该分式方程正确的解.
7. 若分式 $\frac{x}{x - 5} - 2$ 与 $\frac{x + 1}{x}$ 的值互为相反数，则 $ x = $ (
B
)
A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案：7. B 解析:由题意可得$\frac{x}{x-5}-2+\frac{x+1}{x}=0$,解得$x=\frac{5}{6}$,经检验,$x=\frac{5}{6}$是该分式方程的解,故选B.
8. (2025·南宁校级月考)对于两个不相等的实数 $ a,b $，我们规定符号 $ \min\{a,b\} $ 表示 $ a,b $ 中的较小的值，如 $ \min\{2,4\} = 2 $，按照这个规定，方程 $ \min\{\frac{5}{x},\frac{2}{x}\} = \frac{6}{x} - 2 $ 的解为 $ x = $ (
B
)
A.$\frac{1}{2}$
B.$ 2 $
C.$\frac{1}{2}$ 或 $ 2 $
D.$ 1 $ 或 $ -2 $
答案：8. B 解析:当$\frac{5}{x}＞\frac{2}{x}$,即$x＞0$时,方程变形得$\frac{2}{x}=\frac{6}{x}-2$,去分母得$2=6-2x$,即$x=2$.经检验,$x=2$是分式方程的解;当$\frac{5}{x}＜\frac{2}{x}$,即$x＜0$时,方程变形得$\frac{5}{x}=\frac{6}{x}-2$,去分母得$5=6-2x$,解得$x=0.5$,不符合题意.综上,方程的解为$x=2$.故选B.
9. 已知点 $ A(\frac{1}{1 - m},\frac{3}{m + 2}) $ 在平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上，则 $ m = $
$\frac{5}{2}$
。
答案：9. $\frac{5}{2}$ 解析:
∵点$A(\frac{1}{1-m},\frac{3}{m+2})$在平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上,$\therefore \frac{1}{1-m}+\frac{3}{m+2}=0$,解得$m=\frac{5}{2}$,经检验,$m=\frac{5}{2}$是原方程的解.
