14. 已知分式 $A = (a + 1 - \frac{3}{a - 1}) ÷ \frac{a^2 - 4a + 4}{a - 1}$.
(1) 化简这个分式.
(2) 当 $a ＞ 2$ 时,把分式 $A$ 化简结果的分子与分母同时加上 $4$ 后得到分式 $B$,问:分式 $B$ 的值较原来分式 $A$ 的值是变大了还是变小了? 试说明理由.
(3) 若 $A$ 的值是整数,且 $a$ 也为整数,求出符合条件的所有 $a$ 值的和.
答案：14. (1)$A=(a + 1-\frac{3}{a - 1})÷ \frac{a^{2}-4a + 4}{a - 1}=\frac{a^{2}-1 - 3}{a - 1}· \frac{a - 1}{(a - 2)^{2}}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1}· \frac{a - 1}{(a - 2)^{2}}=\frac{a + 2}{a - 2}$.
(2)变小了，理由：$\because A=\frac{a + 2}{a - 2}$，$\therefore B=\frac{a + 6}{a + 2}$，$\therefore A - B=\frac{a + 2}{a - 2}-\frac{a + 6}{a + 2}=\frac{16}{(a - 2)(a + 2)}$.$\because a＞ 2$，$\therefore a - 2＞ 0$，$a + 2＞ 4$，$\therefore A - B＞ 0$，$\therefore$分式的值变小了.
(3)$\because A$的值是整数，$a$是整数，则$A=\frac{a + 2}{a - 2}=1+\frac{4}{a - 2}$，$\therefore a - 2=\pm 1$、$\pm 2$、$\pm 4$.$\because a≠ 1$，$a≠ 2$，$\therefore a$的值可能为3，0，4，6，-2，$\therefore 3 + 0 + 4 + 6+(-2)=11$，$\therefore$符合条件的所有$a$值的和为11.
15. 一题多变 (1) 已知 $a + x^2 = 2019$, $b + x^2 = 2020$, $c + x^2 = 2021$,且 $abc = 6012$,则 $\frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$ 的值为
$\frac{1}{2004}$
.
(2) 已知实数 $a$, $b$, $c$ 均不为零,且 $a + b + c = 0$,则 $\frac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \frac{1}{c^2 + a^2 - b^2} + \frac{1}{a^2 + b^2 - c^2}$ 的值为
$0$
.
答案：15. (1)$\frac{1}{2004}$ 解析：$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{a^{2}}{abc}+\frac{b^{2}}{abc}+\frac{c^{2}}{abc}-\frac{bc}{abc}-\frac{ac}{abc}-\frac{ab}{abc}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-bc - ac - ab}{abc}=\frac{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2bc - 2ac - 2ab}{2abc}=\frac{(a - b)^{2}+(a - c)^{2}+(b - c)^{2}}{2abc}$.$\because a + x^{2}=2019$，$b + x^{2}=2020$，$c + x^{2}=2021$，$abc = 6012$，$\therefore a - b=-1$，$a - c=-2$，$b - c=-1$，$\therefore$原式$=\frac{1 + 4 + 1}{2× 6012}=\frac{6}{2× 6012}=\frac{1}{2004}$.
(2)0 解析：$\because a + b + c = 0$，$\therefore b + c=-a$，$c + a=-b$，$a + b=-c$，$\therefore \frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{(b + c)^{2}-2bc - a^{2}}+\frac{1}{(c + a)^{2}-2ac - b^{2}}+\frac{1}{(a + b)^{2}-2ab - c^{2}}=\frac{1}{a^{2}-2bc - a^{2}}+\frac{1}{b^{2}-2ac - b^{2}}+\frac{1}{c^{2}-2ab - c^{2}}=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}=-\frac{1}{2}× (\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})=-\frac{1}{2}× \frac{a + b + c}{abc}=0$.
16. 新趋势
项目式学习 (盐城中考改编)【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:
菜价 $3$ 元/千克 菜价 $2$ 元/千克
质量 金额 质量 金额
甲 $1$ 千克 $3$ 元 $1$ 千克
$2$
元
乙 $1$ 千克 $3$ 元
$1.5$
千克 $3$ 元
(1) 完成上表.
(2) 计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价. (均价 $=$ 总金额 $÷$ 总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为 $m$ 千克的菜,乙每次买金额为 $n$ 元的菜,两次的单价分别是 $a$ 元/千克、$b$ 元/千克,用含有 $m$, $n$, $a$, $b$ 的式子,分别表示出甲、乙两次买菜的均价 $\overline{x}_{\mathrm{甲}}$、$\overline{x}_{\mathrm{乙}}$.比较 $\overline{x}_{\mathrm{甲}}$、$\overline{x}_{\mathrm{乙}}$ 的大小,并说明理由.
【知识迁移】某船在相距为 $s$ 的甲、乙两码头间往返航行一次,在水流速度为 $0$ 时,船的速度为 $v$,所需时间为 $t_1$;如果水流速度为 $p$ 时 ($0 ＜ p ＜ v$),船顺水航行速度为 $(v + p)$,逆水航行速度为 $(v - p)$,所需时间为 $t_2$.请借鉴上面的研究经验,比较 $t_1$, $t_2$ 的大小,并说明理由.
答案：16.【生活观察】(1)2 1.5
(2)甲两次买菜的均价为$\frac{3 + 2}{1 + 1}=2.5$(元/千克)；乙两次买菜的均价为$\frac{3 + 3}{1 + 1.5}=2.4$(元/千克).
【数学思考】$\overline{x}_{甲}=\frac{am + bm}{m + m}=\frac{a + b}{2}$(元/千克)，$\overline{x}_{乙}=\frac{n + n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}}=\frac{2n}{\frac{n(b + a)}{ab}}=\frac{2ab}{a + b}$(元/千克). $\overline{x}_{甲}≥ \overline{x}_{乙}$. 理由：$\overline{x}_{甲}-\overline{x}_{乙}=\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}$.$\because a＞ 0$，$b＞ 0$，$(a - b)^{2}≥ 0$，$\therefore \frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}≥ 0$，即$\overline{x}_{甲}-\overline{x}_{乙}≥ 0$，$\therefore \overline{x}_{甲}≥ \overline{x}_{乙}$.
【知识迁移】$t_{1}＜ t_{2}$. 理由：$\because t_{1}=\frac{s}{v}+\frac{s}{v}=\frac{2s}{v}$，$t_{2}=\frac{s}{v + p}+\frac{s}{v - p}=\frac{s(v - p)+s(v + p)}{(v + p)(v - p)}=\frac{2sv}{v^{2}-p^{2}}$，$\therefore t_{1}-t_{2}=\frac{2s}{v}-\frac{2sv}{v^{2}-p^{2}}=\frac{2s(v^{2}-p^{2})-2sv^{2}}{v(v^{2}-p^{2})}=\frac{-2sp^{2}}{v(v^{2}-p^{2})}$.$\because s＞ 0$，$v＞ 0$，$0＜ p＜ v$，$\therefore \frac{-2sp^{2}}{v(v^{2}-p^{2})}＜ 0$，即$t_{1}-t_{2}＜ 0$，$\therefore t_{1}＜ t_{2}$.
