1. 计算$(-\dfrac{b}{a})^{2}· a^{3}$的结果为 (
A
)
A.$ab^{2}$
B.$-ab^{2}$
C.$\dfrac{b^{2}}{a^{5}}$
D.$-\dfrac{b^{2}}{a^{5}}$
答案：1. A 解析：原式$=\frac {b^{2}}{a^{2}}· a^{3}=ab^{2}$.故选A.
2. (2025·郑州模拟)若$\dfrac{□}{x + y}÷\dfrac{x}{y^{2}-x^{2}}$运算的结果为整式,则“$□$”中的式子可能是 (
C
)
A.$y - x$
B.$y + x$
C.$2x$
D.$\dfrac{1}{x}$
答案：2. C 解析：$\frac {□}{x+y}÷\frac {x}{y^{2}-x^{2}}=\frac {□}{x+y}· \frac {(y-x)(y+x)}{x}=\frac {□· (y-x)}{x}$，将选项分别代入，当□中的式子为2x时，运算结果为整式，故选C.
3. 已知$(\dfrac{x^{3}}{y^{2}})^{2}÷ (-\dfrac{x}{y^{3}})^{2}=6$,则$x^{4}y^{2}$的值为(
A
)
A.$6$
B.$36$
C.$12$
D.$3$
答案：3. A 解析：$(\frac {x^{3}}{y^{2}})^{2}÷(-\frac {x}{y^{3}})^{2}=\frac {x^{6}}{y^{4}}· \frac {y^{6}}{x^{2}}=x^{4}y^{2}=6$.故选A.
4. 化简:
(1)$\dfrac{1}{a}÷ (-\dfrac{1}{a^{2}})=$
-a
;
(2)$x^{2}÷ (\dfrac{2x}{y})^{2}=$
$\dfrac{y^{2}}{4}$
;
(3)$(\dfrac{x - y}{y})^{2}÷ (y - x)=$
$\dfrac{y-x}{y^{2}}$
;
(4)$(\dfrac{1 + m}{m})^{2}÷\dfrac{1}{m}· m=$
$(1+m)^{2}$
.
答案：4. (1)$-a$ 解析：原式$=\frac {1}{a}· (-a^{2})=-a$.
(2)$\frac {y^{2}}{4}$ 解析：原式$=x^{2}· \frac {y^{2}}{4x^{2}}=\frac {y^{2}}{4}$.
(3)$\frac {y-x}{y^{2}}$ 解析：原式$=\frac {(x-y)^{2}}{y^{2}}· \frac {1}{-(x-y)}=\frac {y-x}{y^{2}}$.
(4)$(1+m)^{2}$ 解析：原式$=\frac {(1+m)^{2}}{m^{2}}· m· m=(1+m)^{2}$.
易错提醒 进行分式的混合运算时需注意运算顺序，如本题第(4)题中不能先计算$\frac {1}{m}· m$.
5. 使式子$\dfrac{x + 3}{x - 3}÷\dfrac{x + 5}{x - 4}$有意义的$x$的取值范围是
$x≠3$且$x≠4$且$x≠-5$
.
答案：5. $x≠3$且$x≠4$且$x≠-5$ 解析：计算过程中，$x-3$、$x-4$、$x+5$均为分母，则可得$x≠3$且$x≠4$且$x≠-5$.
解析：
要使式子$\dfrac{x + 3}{x - 3}÷\dfrac{x + 5}{x - 4}$有意义，需满足分母不为零，且除数不为零。
因为除法中的除数相当于分数的分母，所以$x - 3 ≠ 0$，$x - 4 ≠ 0$，$x + 5 ≠ 0$。
解得$x ≠ 3$，$x ≠ 4$，$x ≠ -5$。
故$x$的取值范围是$x≠3$且$x≠4$且$x≠-5$。
6. 若分式$\dfrac{x^{2}-y^{2}}{ax - ay}÷\dfrac{(x + y)^{2}}{a^{2}x + a^{2}y}$的值等于$5$,则$a$的值是
5
.
答案：6. 5 解析：$\because \frac {x^{2}-y^{2}}{ax-ay}÷\frac {(x+y)^{2}}{a^{2}x+a^{2}y}=\frac {(x+y)(x-y)}{a(x-y)}· \frac {a^{2}(x+y)}{(x+y)^{2}}=a$，而分式$\frac {x^{2}-y^{2}}{ax-ay}÷\frac {(x+y)^{2}}{a^{2}x+a^{2}y}$的值等于5，$\therefore a=5$.
解析：
$\dfrac{x^{2}-y^{2}}{ax - ay}÷\dfrac{(x + y)^{2}}{a^{2}x + a^{2}y}$
$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{a(x-y)}·\dfrac{a^{2}(x+y)}{(x+y)^{2}}$
$=a$
因为该分式的值等于$5$，所以$a=5$。
5
7. 教材变式 计算:
(1)$(\dfrac{a - b}{b})^{2}·\dfrac{b}{a^{2}-b^{2}}$;
(2)$(-\dfrac{x}{y})^{2}· (-\dfrac{y}{x})^{3}÷ (\dfrac{1}{xy})^{2}$;
(3)$\dfrac{x - 1}{x}÷\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+x}$;
(4)$\dfrac{a + 3}{1 - a}÷\dfrac{a^{2}+3a}{a^{2}-2a + 1}$.
答案：7. (1)原式$=\frac {(a-b)^{2}}{b^{2}}· \frac {b}{(a+b)(a-b)}=\frac {a-b}{ab+b^{2}}$.
(2)原式$=-\frac {x^{2}}{y^{2}}· \frac {y^{3}}{x^{3}}÷\frac {1}{x^{2}y^{2}}=-\frac {x^{2}}{y^{2}}· \frac {y^{3}}{x^{3}}· x^{2}y^{2}=-xy^{3}$.
(3)原式$=\frac {x-1}{x}· \frac {x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=1$.
(4)原式$=\frac {a+3}{1-a}÷\frac {a(a+3)}{(1-a)^{2}}=\frac {a+3}{1-a}· \frac {(1-a)^{2}}{a(a+3)}=\frac {1-a}{a}$.
8. 在计算$\dfrac{m^{2}}{m + 1}÷\dfrac{ⓧ}{m + 1}$时,把运算符号“$÷$”看成了“$+$”,得到的计算结果是$m$,则这道题正确的结果是 (
A
)
A.$m$
B.$\dfrac{1}{m}$
C.$m - 1$
D.$\dfrac{1}{m - 1}$
答案：8. A 解析：由题意可知，$m-\frac {m^{2}}{m+1}=\frac {m(m+1)}{m+1}-\frac {m^{2}}{m+1}=\frac {m^{2}+m-m^{2}}{m+1}=\frac {m}{m+1}$，$\therefore \frac {m^{2}}{m+1}÷\frac {m}{m+1}=\frac {m^{2}}{m+1}· \frac {m+1}{m}=m$.故选A.
9. 某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为$a$,$b$,$4r$的长方体纸箱,饮料瓶可近似看成底面半径为$r$,高为$4r$的圆柱体.若纸箱里装满了一层饮料,如图为其横截面,那么纸箱的空间利用率(听装饮料总体积与纸箱体积的比)为 (
A
)
A.$\dfrac{π}{4}$
B.$π r^{2}$
C.$\dfrac{π r^{2}}{ab}$
D.$\dfrac{π r^{2}}{4ab}$
答案：9. A 解析：
∵长方体纸箱装满了一层底面半径为r，高为4r的圆柱体的听装饮料，
∴长方体的长边放置的数量为$\frac {a}{2r}$，长方体的宽边放置的数量为$\frac {b}{2r}$，
∴听装饮料的数量为$\frac {a}{2r}· \frac {b}{2r}=\frac {ab}{4r^{2}}$，
∴听装饮料的总体积为$πr^{2}· 4r· \frac {ab}{4r^{2}}=abrπ$，纸箱容积为$a· b· 4r=4abr$，
∴纸箱的空间利用率为$\frac {abrπ}{4abr}=\frac {π}{4}$.故选A.
