9. (1)新趋势
开放性试题 已知三张卡片上面分别写有 $6$，$x - 1$，$x^{2} - 1$，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为
$\frac{6}{x - 1}$（或 $\frac{6}{x^{2} - 1}$）
；(写出一个即可)
答案：9. (1) $\frac{6}{x - 1}$（或 $\frac{6}{x^{2} - 1}$）解析：要使得组成的式子为分式，则分母中为 $x - 1$ 或 $x^{2} - 1$，要使得组成的分式为最简分式，$\because x - 1$ 和 $x^{2} - 1$ 有公因式 $x - 1$，$\therefore$ 分子中只能为 6，故组成的最简分式为 $\frac{6}{x - 1}$ 或 $\frac{6}{x^{2} - 1}$.
(2)若 $m$ 为实数，分式 $\frac{x(x + 2)}{x^{2} + m}$ 不是最简分式，则 $m =$
0 或 -4
.
答案：(2) 0 或 -4 解析：当分子和分母中的公因式为 $x$ 时，$m = 0$，此时 $\frac{x(x + 2)}{x^{2}} = \frac{x + 2}{x}$；当分子和分母中的公因式为 $x + 2$ 时，$m = -4$，此时 $\frac{x(x + 2)}{x^{2} - 4} = \frac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x}{x - 2}$. 故 $m = 0$ 或 -4.
易错提醒 分式的分母中必须含有字母.
10. 若 $a^{2}b + ab^{2} = 0(a ≠ 0)$，则 $\frac{a^{3} - 4ab^{2}}{a^{3} - 4a^{2}b + 4ab^{2}}$ 的值为
1 或 $-\frac{1}{3}$
.
答案：10. 1 或 $-\frac{1}{3}$ 解析：$\because a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b) = 0(a ≠ 0)$，$\therefore b = 0$ 或 $a = -b$. $\frac{a^{3} - 4ab^{2}}{a^{3} - 4a^{2}b + 4ab^{2}} = \frac{a(a^{2} - 4b^{2})}{a(a^{2} - 4ab + 4b^{2})} = \frac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^{2}} = \frac{a + 2b}{a - 2b}$. 当 $b = 0$ 时，原式 $= 1$；当 $a = -b ≠ 0$ 时，原式 $= -\frac{1}{3}$. $\therefore$ 原式 $= 1$ 或 $-\frac{1}{3}$.
11. (1)当 $1 ＜ x ＜ 2$ 时，化简 $\frac{x - 1}{3 - 3x} + \frac{x - 2}{x - 2}$ 的结果是
$-\frac{4}{3}$
；
答案：11. (1) $-\frac{4}{3}$ 解析：$\because 1 ＜ x ＜ 2$，$\therefore x - 1 ＞ 0$，$x - 2 ＜ 0$，$\therefore$ 原式 $= \frac{x - 1}{3(1 - x)} + \frac{2 - x}{x - 2} = -\frac{1}{3} + (-1) = -\frac{4}{3}$.
(2)已知 $a$，$b$ 两数在数轴上的位置如图所示，则化简 $\frac{b^{2} - a + a^{2} + b - 2ab}{a - b}$ 的结果是
$-a + b + 1$
.
答案：(2) $-a + b + 1$ 解析：原式 $= \left|\frac{(a - b)^{2} - (a - b)}{a - b}\right| = \left|\frac{(a - b)(a - b - 1)}{a - b}\right| = |a - b - 1|$，由数轴可得 $a - b ＜ 0$，$\therefore$ 原式 $= -(a - b - 1) = -a + b + 1$.
12. 约分：
（1）$\frac{x^{2} + y^{2} + 2xy - 4}{x + y - 2}$；
（2）$\frac{x^{n}(y^{2n} - 1)}{x^{n + 1}(y^{n} + 1)}$.
答案：12. (1) $\frac{x^{2} + y^{2} + 2xy - 4}{x + y - 2} = \frac{(x + y)^{2} - 2^{2}}{x + y - 2} = \frac{(x + y + 2)(x + y - 2)}{x + y - 2} = x + y + 2$.
(2) $\frac{x^{n}(y^{2n} - 1)}{x^{n + 1}(y^{n} + 1)} = \frac{x^{n}(y^{n} + 1)(y^{n} - 1)}{x^{n} · x(y^{n} + 1)} = \frac{y^{n} - 1}{x}$.
13. （1）（2025·北京中考）已知 $a + b - 3 = 0$，求代数式 $\frac{4(a - b) + 8b}{a^{2} + 2ab + b^{2}}$ 的值；
答案：13. (1) 原式 $= \frac{4a - 4b + 8b}{(a + b)^{2}} = \frac{4(a + b)}{(a + b)^{2}} = \frac{4}{a + b}$，$\because a + b - 3 = 0$，$\therefore a + b = 3$，$\therefore$ 原式 $= \frac{4}{3}$.
（2）设非零实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $\begin{cases}3a + 2b + c = 0, \\ a + b + c = 0,\end{cases}$ 求 $\frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ 值；
答案：(2) $\begin{cases}3a + 2b + c = 0, & ①\\a + b + c = 0, & ②\end{cases}$ ① - ② 得 $2a + b = 0$，$\therefore b = -2a$. 把 $b = -2a$ 代入②，得 $-a + c = 0$，$\therefore c = a$. 当 $b = -2a$，$c = a$ 时，原式 $= \frac{-2a^{2} - 2a^{2} + a^{2}}{a^{2} + 4a^{2} + a^{2}} = \frac{-3a^{2}}{6a^{2}} = -\frac{1}{2}$.
（3）已知 $2x + 3y - 5z = 0$，$3x - 2y + 12z = 0(z ≠ 0)$，求 $\frac{2x^{2} - 3xy}{4x^{2} - 12xy + 9y^{2}}$ 的值.
答案：(3) 由题意，得 $\begin{cases}2x + 3y = 5z,\\3x - 2y = -12z,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = -2z,\\y = 3z.\end{cases}$ $\therefore$ 原式 $= \frac{x(2x - 3y)}{(2x - 3y)^{2}} = \frac{x}{2x - 3y} = \frac{-2z}{2 × (-2z) - 3 × 3z} = \frac{2}{13}$.
14. 如图所示，一个大长方形被两条线段 $AB$、$CD$ 分成四个小长方形.如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为 $8$，$6$，$5$，那么阴影部分的面积为(
C
)
A.$\frac{9}{2}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{15}{8}$
答案：14. C 解析：设图形Ⅰ长为 $x$，宽为 $y$，大长方形长为 $a$，宽为 $b$，则图形Ⅱ长为 $(a - x)$，宽为 $y$；图形Ⅲ长为 $(a - x)$，宽为 $(b - y)$；有阴影部分的矩形长为 $x$，宽为 $(b - y)$，面积为 $z$. $\because$ 图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为 $8$，$6$，$5$，$\therefore \frac{S_{Ⅰ}}{S_{Ⅱ}} = \frac{xy}{(a - x)y} = \frac{x}{a - x} = \frac{8}{6}$，$\therefore \frac{S_{有阴影的矩形}}{S_{Ⅲ}} = \frac{x(b - y)}{(a - x)(b - y)} = \frac{x}{a - x} = \frac{z}{5}$，$\therefore \frac{z}{5} = \frac{8}{6}$，解得 $z = \frac{20}{3}$. $\therefore S_{阴影} = \frac{1}{2}z = \frac{1}{2} × \frac{20}{3} = \frac{10}{3}$. 故选 C.
15. 已知 $a^{2} + b^{2} = (a + b - c)^{2}$，且 $b^{2} ≠ 0$，化简：$\frac{a^{2} + (a - c)^{2}}{b^{2} + (b - c)^{2}}$.
答案：15. $\because a^{2} + b^{2} = (a + b - c)^{2}$，$\therefore a^{2} = (a + b - c)^{2} - b^{2} = (a + b - c + b)(a + b - c - b) = (a + 2b - c)(a - c)$. 同理，$b^{2} = (2a + b - c)(b - c)$. $\therefore \frac{a^{2} + (a - c)^{2}}{b^{2} + (b - c)^{2}} = \frac{(a + 2b - c)(a - c) + (a - c)^{2}}{(2a + b - c)(b - c) + (b - c)^{2}} = \frac{(a - c)(a + 2b - c + a - c)}{(b - c)(2a + b - c + b - c)} = \frac{(a - c)(2a + 2b - 2c)}{(b - c)(2a + 2b - 2c)} = \frac{a - c}{b - c}$.
