10. (2025·海门期中)若一个自然数的算术平方根为$a$，则下一个自然数的算术平方根是(
B
)
A.$\sqrt{a^{2}}$
B.$\sqrt{a^{2}+1}$
C.$\sqrt{a + 1}$
D.$a^{2}+1$
答案：10. B
解析：
因为一个自然数的算术平方根为$a$，所以这个自然数是$a^2$，下一个自然数是$a^2 + 1$，其算术平方根是$\sqrt{a^2 + 1}$。
B
11. 若$3x - 4$为 225 的算术平方根，则$x$的值为
$\frac{19}{3}$
.
答案：11. $\frac{19}{3}$
解析：
解：因为$225$的算术平方根是$15$，所以$3x - 4 = 15$，解得$3x = 19$，$x = \frac{19}{3}$。
12. 用“＞”或“＜”填空：
(1) $3\_\_\_\_\_\sqrt{10}$；
(2) $-\sqrt{15}\_\_\_\_\_-4$；
(3) $\frac{\sqrt{5}}{5}\_\_\_\_\_\frac{\sqrt{6}}{6}$.
答案：12. (1) ＜ (2) ＞ (3) ＞
解析：
(1) $3 = \sqrt{9}$，因为$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10}$，所以$3 ＜ \sqrt{10}$；
(2) $-4 = -\sqrt{16}$，因为$\sqrt{15} ＜ \sqrt{16}$，所以$-\sqrt{15} ＞ -\sqrt{16}$，即$-\sqrt{15} ＞ -4$；
(3) $\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$，因为$\sqrt{5} ＜ \sqrt{6}$，所以$\frac{1}{\sqrt{5}} ＞ \frac{1}{\sqrt{6}}$，即$\frac{\sqrt{5}}{5} ＞ \frac{\sqrt{6}}{6}$。
(1) ＜
(2) ＞
(3) ＞
13. 若$\sqrt{5.217}\approx2.284$，$\sqrt{521.7}\approx22.84$，则$\sqrt{0.05217}\approx$
0.2284
，$\sqrt{52170}\approx$
228.4
；若$\sqrt{x}\approx0.02284$，则$x\approx$
0.0005217
.
答案：13. 0.2284 228.4 0.0005217
解析：
$\sqrt{0.05217}\approx0.2284$，$\sqrt{52170}\approx228.4$；$x\approx0.0005217$
14. 若$|x - 2|+(2y + 1)^{2}=0$，则$\sqrt{x - 4y}$的值为
2
.
答案：14. 2
解析：
因为$|x - 2| \geq 0$，$(2y + 1)^2 \geq 0$，且$|x - 2| + (2y + 1)^2 = 0$，所以$x - 2 = 0$，$2y + 1 = 0$。解得$x = 2$，$y = -\dfrac{1}{2}$。则$x - 4y = 2 - 4×(-\dfrac{1}{2}) = 2 + 2 = 4$，所以$\sqrt{x - 4y} = \sqrt{4} = 2$。
15. (数形结合思想)如图，在$3×3$的方格纸中，每个小正方形的边长为 1，则正方形 ABCD 的边长是
$\sqrt{5}$
.
答案：15. $\sqrt{5}$
解析：
解：设每个小正方形的边长为1，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系。则点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(0,0)。
根据两点间距离公式，AB的长度为：
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
因为四边形ABCD是正方形，所以正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
16. 张爷爷家有一个面积为 289 m²的正方形花圃，若要在花圃的四周围上栅栏，则至少需要栅栏
68
m.
答案：16. 68
解析：
设正方形花圃的边长为$a$米，因为正方形面积为$289\,\mathrm{m}^2$，所以$a^2 = 289$，解得$a=\sqrt{289}=17$。栅栏长度即为正方形周长，$4a = 4×17 = 68$。
68
17. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt{17^{2}-8^{2}}$；
(2) $\sqrt{0.81}-\sqrt{0.01}-\frac{\sqrt{121}}{10}$；
(3) $\sqrt{6\frac{1}{4}}÷\sqrt{(-\frac{1}{5})^{2}}$.
答案：17. (1) 15 (2) -0.3 (3) $\frac{25}{2}$
解析：
(1) $\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=\sqrt{9×25}=\sqrt{9}×\sqrt{25}=3×5=15$；
(2) $\sqrt{0.81}-\sqrt{0.01}-\frac{\sqrt{121}}{10}=0.9 - 0.1-\frac{11}{10}=0.8 - 1.1=-0.3$；
(3) $\sqrt{6\frac{1}{4}}÷\sqrt{(-\frac{1}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}÷\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{5}{2}÷\frac{1}{5}=\frac{5}{2}×5=\frac{25}{2}$
18. 小玉想用一张面积为 900 cm²的正方形纸片沿着边的方向裁出一张面积为 560 cm²的长方形纸片，使它的长、宽之比为$2:1$，但不知能否裁出来. 小芳看见了说：“很明显，一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片.”你同意小芳的观点吗？小玉能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗？
答案：18. 设长方形纸片的长为$2x(x＞0)$cm，宽为$x$ cm。由题意，得$2x·x = 560$。$\therefore x = \sqrt{280}$。$\because 280＞256$，$\therefore \sqrt{280}＞16$。$\therefore 2x＞32$，即裁出的长方形纸片的长大于32cm。$\because$正方形纸片的面积为$900$cm²，$\therefore$边长只有30cm。$\therefore$不同意小芳的观点，小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片
解析：
设长方形纸片的长为$2x(x＞0)$cm，宽为$x$cm。由题意，得$2x·x = 560$，即$2x^2 = 560$，$x^2 = 280$，$\therefore x = \sqrt{280}$。$\because 280＞256$，$\therefore \sqrt{280}＞\sqrt{256}=16$，$\therefore 2x＞32$。正方形纸片的面积为$900$cm²，其边长为$\sqrt{900}=30$cm。$\because 32＞30$，$\therefore$不同意小芳的观点，小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
