25. （2025·通州期中）如图，点 $A$，$B$ 在直线 $MN$ 上，射线 $AE$，$BF$ 分别在 $\angle CAN$ 与 $\angle DBM$ 的内部，且 $\angle CAN = \dfrac{3}{2}\angle DBN$。
（1）若 $\angle CAM = \angle DBN$，求 $\angle CAN$ 的度数；
（2）若 $\angle CAE = \dfrac{1}{2}\angle DBF$，$AE// BF$，试用等式表示 $\angle DBN$ 与 $\angle DBF$ 之间的数量关系，并证明。
答案：(1)
∵∠CAN=$\frac{3}{2}$∠DBN,∠CAM=∠DBN,
∴∠CAN=$\frac{3}{2}$∠CAM.
∵∠CAN+∠CAM=180°,
∴$\frac{3}{2}$∠CAM+∠CAM=180°.
∴∠CAM=72°.
∴∠CAN=180°−∠CAM=180°−72°=108° (2)∠DBN=3∠DBF
∵AE//BF,
∴∠EAN=∠FBN.
∵∠CAN=$\frac{3}{2}$∠DBN,∠CAE=$\frac{1}{2}$∠DBF,
∴∠CAE+∠EAN=$\frac{3}{2}$∠DBN.
∴$\frac{1}{2}$∠DBF+∠FBN=$\frac{3}{2}$∠DBN.
∴$\frac{1}{2}$∠DBF+∠DBF+∠DBN=$\frac{3}{2}$∠DBN.
∴$\frac{3}{2}$∠DBF=$\frac{1}{2}$∠DBN.
∴∠DBN=3∠DBF
26. （2025·海安期中）已知直线 $l$ 分别交直线 $AB$，$CD$ 于点 $E$，$F$。
（1）如图①，若 $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$，求证：$AB// CD$。
（2）如图②，$AB// CD$，点 $H$ 在直线 $AB$，$CD$ 之间，过点 $H$ 作 $HG⊥ AB$ 于点 $G$。若 $FH$ 平分 $\angle EFD$，$\angle \alpha = 120^{\circ}$，求 $\angle FHG$ 的度数。
（3）如图③，$AB// CD$，直线 $MN$ 与直线 $AB$，$CD$ 分别交于点 $M$，$N$。若 $\angle EMN = 120^{\circ}$，$P$ 为线段 $EF$ 上一动点，$Q$ 为直线 $CD$ 上一动点，请直接写出 $\angle PMN$ 与 $\angle MPQ$，$\angle PQF$ 之间的数量关系。
答案：(1)
∵∠1+∠2=180°,∠2+∠DFE=180°,
∴∠1=∠DFE.
∴AB//CD (2)如图，过点H作HI//AB,则HI//AB//CD.
∵GH⊥AB,即∠EGH=90°,
∴∠IHG=180°−∠EGH=90°.
∵∠α=120°,
∴∠EFD=180°−∠α=60°.
∵FH平分∠EFD,
∴∠HFD=30°.
∵IH//CD,
∴∠IHF=∠HFD=30°.
∴∠FHG=∠IHF+∠IHG=120°
(3)∠PMN与∠MPQ,∠PQF之间的数量关系为∠MPQ+∠PMN−∠PQF=120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF=300°
或∠MPQ−∠PMN−∠PQF=60°
