1. 如图，直线 $a$，$b$ 相交于点 $O$。若 $\angle 2 = 3\angle 1$，则 $\angle 3$ 的度数为(
C
)
A.$45^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$160^{\circ}$
答案：C
解析：
解：因为直线$a$，$b$相交于点$O$，所以$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$。
又因为$\angle 2 = 3\angle 1$，所以$\angle 1 + 3\angle 1 = 180^{\circ}$，
即$4\angle 1 = 180^{\circ}$，解得$\angle 1 = 45^{\circ}$。
因为$\angle 3$与$\angle 1$是对顶角，所以$\angle 3 = \angle 1 = 45^{\circ}$？
（注：此处发现原思路错误，$\angle 3$与$\angle 2$是对顶角，应为$\angle 3 = \angle 2$。正确过程：由$\angle 1 = 45^{\circ}$，得$\angle 2 = 3× 45^{\circ}=135^{\circ}$，所以$\angle 3 = \angle 2 = 135^{\circ}$。）
$\angle 3 = 135^{\circ}$
C
2. (2025·如皋期末)如图，直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OE⊥ AB$ 于点 $O$。若 $\angle DOB = 45^{\circ}$，则 $\angle COE$ 的度数是(
C
)
A.$25^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$55^{\circ}$
答案：C
解析：
解：
∵直线$AB$，$CD$相交于点$O$，
$\therefore \angle AOC = \angle DOB = 45^{\circ}$（对顶角相等）。
$\because OE ⊥ AB$，
$\therefore \angle AOE = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle COE = \angle AOE - \angle AOC = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$。
答案：C
3. 如图，点 $O$ 在直线 $AB$ 上，$EO⊥ OF$，$EM⊥ AB$ 于点 $M$，连接 $EF$，则点 $E$ 到 $OF$ 的距离是线段
EO
的长度。
答案：EO
4. 如图，$O$ 为直线 $AB$ 上一点，$OC⊥ AB$，$OD⊥ OE$。若 $\angle DOC:\angle AOE = 5:13$，则 $\angle BOE$ 的度数为
50°
。
答案：50°
解析：
解：因为 $OC ⊥ AB$，所以 $\angle AOC = \angle BOC = 90°$。
设 $\angle DOC = 5x$，$\angle AOE = 13x$。
因为 $OD ⊥ OE$，所以 $\angle DOE = 90°$，即 $\angle DOC + \angle COE = 90°$，则 $\angle COE = 90° - 5x$。
又因为 $\angle AOE = \angle AOC + \angle COE$，$\angle AOC = 90°$，所以 $13x = 90° + (90° - 5x)$。
解得 $13x + 5x = 180°$，$18x = 180°$，$x = 10°$。
所以 $\angle AOE = 13x = 130°$。
因为点 $O$ 在直线 $AB$ 上，所以 $\angle AOB = 180°$，则 $\angle BOE = \angle AOB - \angle AOE = 180° - 130° = 50°$。
$50°$
5. （2025·如皋期中）如图，直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，垂足都为 $O$。
（1）求证：$\angle EOF = \angle AOC$；
（2）若 $\angle AOD = 5\angle EOF$，求 $\angle EOF$ 的度数。
答案：(1)
∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴∠AOE=∠COF=∠DOF=90°.
∴∠EOF+∠AOF=∠AOC+∠AOF=90°.
∴∠EOF=∠AOC (2)设∠EOF=x.
∴∠AOD=5∠EOF=5x,∠AOF=90°−x.
∵∠AOD=∠AOF+∠DOF=∠AOF+90°,
∴90°−x+90°=5x,解得x=30°.
∴∠EOF=30°
6. (2025·南通期末)如图，有下列条件：① $\angle AEC = \angle C$；② $\angle C = \angle BFD$；③ $\angle BEC + \angle B = 180^{\circ}$。其中，能判定 $AB// CD$ 的有(
B
)
A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个
答案：B
解析：
证明：
① $\angle AEC = \angle C$，内错角相等，判定 $AE//CD$，无法判定 $AB//CD$；
② $\angle C = \angle BFD$，同位角相等，判定 $BF//CD$，无法判定 $AB//CD$；
③ $\angle BEC + \angle B = 180°$，同旁内角互补，判定 $AB//CD$。
能判定 $AB//CD$ 的有1个。
B
7. 如图，直线 $AB$，$CD$ 交于点 $O$，$OE$ 为 $\angle BOD$ 的平分线，$OF⊥ OE$，且 $CG// OE$，$\angle C = 30^{\circ}$，则 $\angle AOF$ 的度数为
60°
。
答案：60°
8. 如图，直线 $a// b$，$\angle 1 = 63^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，则 $\angle 2$ 的度数为
108°
。
答案：108°
