20. (1) 已知$x = 2 - \sqrt{3}$，求代数式$(7 + 4\sqrt{3})x^{2} + (2 + \sqrt{3})x + \sqrt{3}$的值；
(2) 先化简，再求值：$(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x^{2} - 1}) ÷ \frac{x}{x - 1}$，其中$x = \sqrt{12} + (\sqrt{5})^{0} - (\frac{1}{2})^{-1}$.
答案：20.(1)把x=2−$\sqrt{3}$代入,得原式=(7+4$\sqrt{3}$)×(2−$\sqrt{3}$)²+(2+$\sqrt{3}$)×(2−$\sqrt{3}$)+$\sqrt{3}$=(7+4$\sqrt{3}$)×(7−4$\sqrt{3}$)+1+$\sqrt{3}$=1+1+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$ (2)原式=($\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x²−1}$)·$\frac{x−1}{x}$=$\frac{x−1}{x(x+1)}$+$\frac{1}{x(x+1)}$=$\frac{x}{x(x+1)}$=$\frac{1}{x+1}$.当x=$\sqrt{12}$+($\sqrt{5}$)⁰−($\frac{1}{2}$)⁻¹=2$\sqrt{3}$+1−2=2$\sqrt{3}$−1 时，原式=$\frac{1}{2\sqrt{3}−1+1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
解析：
(1)将$x = 2 - \sqrt{3}$代入代数式，得：
$\begin{aligned}&(7 + 4\sqrt{3})x^{2} + (2 + \sqrt{3})x + \sqrt{3}\\=&(7 + 4\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})^{2} + (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3}\\=&(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) + (4 - 3) + \sqrt{3}\\=&7^{2} - (4\sqrt{3})^{2} + 1 + \sqrt{3}\\=&49 - 48 + 1 + \sqrt{3}\\=&2 + \sqrt{3}\end{aligned}$
(2)先化简：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x^{2} - 1}) ÷ \frac{x}{x - 1}\\=&(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{(x + 1)(x - 1)}) · \frac{x - 1}{x}\\=&\frac{x - 1 + 1}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{x - 1}{x}\\=&\frac{x}{(x + 1)(x - 1)} · \frac{x - 1}{x}\\=&\frac{1}{x + 1}\end{aligned}$
计算$x$的值：
$x = \sqrt{12} + (\sqrt{5})^{0} - (\frac{1}{2})^{-1} = 2\sqrt{3} + 1 - 2 = 2\sqrt{3} - 1$
代入化简后的式子，得：
$\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2\sqrt{3} - 1 + 1} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
21. 已知$x\sqrt{\frac{3}{x}} + 3\sqrt{\frac{x}{3}} + \sqrt{27x} = 15$，求$x$的值.
答案：21.
∵x$\sqrt{\frac{3}{x}}$+3$\sqrt{\frac{x}{3}}$+$\sqrt{27x}$=$\sqrt{3x}$+$\sqrt{3x}$+3$\sqrt{3x}$=5$\sqrt{3x}$，
∴5$\sqrt{3x}$=15，
∴$\sqrt{3x}$=3，解得x = 3
22. 如图，矩形$ABCD$的长为$2\sqrt{6} + \sqrt{5}$，宽为$2\sqrt{6} - \sqrt{5}$.
(1) 矩形$ABCD$的周长是多少？
(2) 在矩形$ABCD$内部挖去一个边长为$\sqrt{6} - \sqrt{5}$的正方形，求剩余部分的面积.
答案：22.(1)矩形ABCD的周长为2×(2$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$+2$\sqrt{6}$−$\sqrt{5}$)=2×4$\sqrt{6}$=8$\sqrt{6}$ (2)剩余部分的面积为(2$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$)×(2$\sqrt{6}$−$\sqrt{5}$)−($\sqrt{6}$−$\sqrt{5}$)²=(2$\sqrt{6}$)²−($\sqrt{5}$)²−[($\sqrt{6}$)²−2$\sqrt{6}$×$\sqrt{5}$+($\sqrt{5}$)²]=24−5−(11−2$\sqrt{30}$)=8+2$\sqrt{30}$
解析：
(1) 矩形$ABCD$的周长为$2×[(2\sqrt{6}+\sqrt{5})+(2\sqrt{6}-\sqrt{5})]=2×4\sqrt{6}=8\sqrt{6}$
(2) 矩形面积为$(2\sqrt{6}+\sqrt{5})(2\sqrt{6}-\sqrt{5})=(2\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}=24 - 5=19$
正方形面积为$(\sqrt{6}-\sqrt{5})^{2}=(\sqrt{6})^{2}-2\sqrt{6}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}=6 - 2\sqrt{30}+5=11 - 2\sqrt{30}$
剩余部分面积为$19-(11 - 2\sqrt{30})=8 + 2\sqrt{30}$
