证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，
∴$\angle OAE=\angle OCF$，$\angle OEA=\angle OFC$，
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，
$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF \\\angle OEA=\angle OFC \\OA=OC\end{cases}$，
∴$\triangle AOE\cong\triangle COF(AAS)$，
∴$OE=OF$。
A. $OE=OF$，成立；
B. $AE=BF$，不一定成立；
C. $\angle DOC=\angle OCD$，不一定成立；
D. $\angle CFE=\angle DEF$，不一定成立。
结论一定成立的是A。
答案：A

设矩形的两条对角线相交于点$O$，矩形的长为$a$，宽为$b$。
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以$AO=BO=\frac{10}{2}=5$。
又因为两条对角线的一个夹角为$60^{\circ}$，所以$\triangle AOB$是等边三角形，因此$AB=AO=5$，即矩形的宽$b=5$。
在$Rt\triangle ABC$中（$C$为矩形的一个顶点），根据勾股定理可得：$a=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=\sqrt{100 - 25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
矩形的面积$S = a× b=5\sqrt{3}×5=25\sqrt{3}$。
B

证明：
∵M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN//BC，
∴∠C=∠ANM=45°（两直线平行，同位角相等），
在△ABC中，∠A=65°，∠C=45°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°．
D

解：在$Rt\triangle BDC$中，$BD=4$，$CD=3$，由勾股定理得$BC=\sqrt{BD^2 + CD^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
因为E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，所以$EF=\frac{1}{2}AD$，$GH=\frac{1}{2}AD$，$EH=\frac{1}{2}BC$，$FG=\frac{1}{2}BC$。
已知$AD=7$，则$EF=GH=\frac{1}{2}×7=3.5$；$EH=FG=\frac{1}{2}×5=2.5$。
四边形EFGH的周长为$EF + FG + GH + EH=3.5 + 2.5 + 3.5 + 2.5=12$。
答案：A

证明：连接EG。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC。
∵E，G分别为AD，BC的中点，
∴AE=ED=BG=GC，
∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AB//EG，CD//EG，AB=EG=CD。
设▱ABCD的高为h，则S▱ABGE=S▱EGCD= (1/2)S▱ABCD。
∵AF=CH，AB=CD，
∴BF=DH。
在▱ABGE中，EG//AB，EG=AB，
△EFG的高为▱ABGE高的一半，底FG随F移动变化，但△EFG面积= (1/2)×EG×(▱ABGE高的一半)= (1/4)S▱ABGE。
同理，△EHG的面积= (1/4)S▱EGCD。
∴S四边形EFGH=S▱ABGE + S▱EGCD - △EFG面积 - △EHG面积= S▱ABCD - (1/4)S▱ABGE - (1/4)S▱EGCD= S▱ABCD - (1/4)(S▱ABGE + S▱EGCD)= S▱ABCD - (1/4)S▱ABCD= (3/4)S▱ABCD，为定值。
A选项，四边形EFGH的周长随F、H移动变化；B选项，∠EFG大小随F位置变化；D选项，线段FH长度随F、H移动变化。
结论：四边形EFGH的面积为定值。
C