2. 如图所示,放在水平桌面上的两个相同的柱形容器,分别装有甲、乙两种液体,甲液面高于乙液面。液体中的$a$、$b$两点处于同一水平高度,$a$、$b$两点的液体压强相等。这两种液体的密度和质量的关系分别是(
B
)。

A.$\rho_{ 甲}<\rho_{ 乙}$,$m_{ 甲}>m_{ 乙}$
B.$\rho_{ 甲}<\rho_{ 乙}$,$m_{ 甲}<m_{ 乙}$
C.$\rho_{ 甲}>\rho_{ 乙}$,$m_{ 甲}>m_{ 乙}$
D.$\rho_{ 甲}>\rho_{ 乙}$,$m_{ 甲}<m_{ 乙}$
解析:
【分析】
要解决这道题,我们可以分两步分析:
1. 比较液体密度:首先确定a、b两点的深度关系,a点的深度$ h_a $大于b点的深度$ h_b $(因为a、b在同一水平高度,甲液面高于乙液面)。已知a、b两点压强相等,根据液体压强公式$ p=\rho gh $,在压强$ p $相等时,深度$ h $越大,液体密度$ \rho $越小,因此可以得出$ \rho_{甲}<\rho_{乙} $。
2. 比较液体质量:设a、b两点到容器底部的高度为$ h' $,则a点下方液体的压强$ p_{a下}=\rho_{甲}gh' $,b点下方液体的压强$ p_{b下}=\rho_{乙}gh' $,由于$ \rho_{甲}<\rho_{乙} $,所以$ p_{a下}<p_{b下} $。容器底部的压强等于a(b)点的压强加上下方液体的压强,即$ p_{甲底}=p_a+p_{a下} $,$ p_{乙底}=p_b+p_{b下} $,因为$ p_a=p_b $,所以$ p_{甲底}<p_{乙底} $。柱形容器中,液体对容器底部的压力等于液体的重力,结合$ F=pS $(容器底面积$ S $相同),可知液体重力$ G_{甲}<G_{乙} $,即$ m_{甲}<m_{乙} $。
【解析】
步骤1:比较液体密度
由图可知,$ h_a > h_b $,且$ p_a = p_b $。
根据液体压强公式$ p = \rho gh $,变形得$ \rho = \frac{p}{gh} $。
因为$ p_a = p_b $,$ h_a > h_b $,所以$ \rho_{甲} < \rho_{乙} $。
步骤2:比较液体质量
设a、b两点到容器底部的高度为$ h' $,则:
$ p_{a下} = \rho_{甲}gh' $,$ p_{b下} = \rho_{乙}gh' $。
由于$ \rho_{甲} < \rho_{乙} $,所以$ p_{a下} < p_{b下} $。
容器底部的压强:$ p_{甲底} = p_a + p_{a下} $,$ p_{乙底} = p_b + p_{b下} $。
因为$ p_a = p_b $,所以$ p_{甲底} < p_{乙底} $。
柱形容器中,液体对底部的压力等于液体的重力,即$ F = G = mg $,结合$ F = pS $(容器底面积$ S $相同),可得:
$ G_{甲} = p_{甲底}S $,$ G_{乙} = p_{乙底}S $,因此$ G_{甲} < G_{乙} $,即$ m_{甲} < m_{乙} $。
综上,$ \rho_{甲} < \rho_{乙} $,$ m_{甲} < m_{乙} $,答案选B。
【答案】
B
【知识点】
液体压强公式、压力与重力的关系
【点评】
本题综合考查液体压强公式的应用和柱形容器中液体压力与重力的关系,需要结合深度、密度、压强的关系逐步推导,同时要注意柱形容器这一特殊条件的应用,即液体对容器底部的压力等于液体自身重力。
【难度系数】
0.6