7. 人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开.某校组织九年级学生去一公园踏青，公园内有如图所示的四边形$ABCD$循环步道.经测量，点$B$在点$A$的南偏东$60^{\circ}$方向上，点$C$在点$A$的正东方向，且点$C$也在点$B$的正北方向，点$D$在点$A$的东北方向$200\sqrt{3}\ m$处，且点$D$也在点$C$的西北方向(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{6}\approx2.449$).
(1) 求$BC$的长(结果保留根号).
(2) 已知从点$A$到点$C$有两条路线可走：①$A\rightarrow D\rightarrow C$；②$A\rightarrow B\rightarrow C$.路线①的步行速度为$50\ m/min$，路线②的步行速度为$65\ m/min$，请比较走哪条路线更省时间.
答案：7. (1)如图，连接AC，标记点F。根据题意，易得∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠D=90°。
∵AD=200$\sqrt{3}$m，
∴AC=$\sqrt{2}$AD=200$\sqrt{6}$(m)。
∵∠BAF=60°，
∴∠BAC=30°。在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AC·tan30°=200$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=200$\sqrt{2}$(m)。
∴BC的长为200$\sqrt{2}$m
(2)
∵∠DAC=∠DCA=45°，
∴AD=CD=200$\sqrt{3}$m。
∴路线①的长为200$\sqrt{3}$+200$\sqrt{3}$=400$\sqrt{3}$(m)。
∴路线①的步行时间为400$\sqrt{3}$÷50=8$\sqrt{3}$(min)。由(1)，易得AB=2BC=400$\sqrt{2}$m，
∴路线②的长为400$\sqrt{2}$+200$\sqrt{2}$=600$\sqrt{2}$(m)。
∴路线②的步行时间为600$\sqrt{2}$÷65=$\frac{120\sqrt{2}}{13}$(min)。
∵8$\sqrt{3}$≈13.856，$\frac{120\sqrt{2}}{13}$≈13.052，
∴$\frac{120\sqrt{2}}{13}$＜8$\sqrt{3}$。
∴走路线②更省时间
