如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角
对应相等
，那么这两个三角形相似. 用符号语言表述：如图，在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\because \angle A = \angle A'$，
$\angle B = \angle B'$（或$\angle C = \angle C'$）
，$\therefore$
$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$
.
答案：对应相等 $\angle B = \angle B'$（或$\angle C = \angle C'$） $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$
1. 如图，$\triangle ABC$与$\triangle BDE$都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE与AB相交于点F，则与$\triangle BFD$相似的三角形是 (
C
)
$A.\triangle BFE$
$B.\triangle BDC$
$C.\triangle BDA$
$D.\triangle AFD$
答案：1.C
解析：
证明：
∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBD=60°，∠A=∠C=60°，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵∠BFD=∠E+∠EBF=60°+∠EBF，∠BDA=∠C+∠DBC=60°+∠DBC，
且∠EBF=∠DBC，
∴∠BFD=∠BDA，
又
∵∠ABD=∠FBD，
∴△BFD∽△BDA．
答案：C
2. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，点$E$在边$AC$上，且$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$，则与$\triangle ADE$相似的三角形的个数为 (
C
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：2.C
解析：
证明：
1. 在$\triangle ADE$和$\triangle ABC$中，
$\angle A = \angle A$（公共角），
$\angle ADE = \angle 1 = \angle 2 = \angle ABC$，
$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ABC$（AA）。
2. 在$\triangle ADE$和$\triangle ACD$中，
$\angle A = \angle A$（公共角），
$\angle AED = 180° - \angle A - \angle 1$，
$\angle ACD = \angle 3 = \angle 1$，
$\angle ADC = 180° - \angle A - \angle ACD = 180° - \angle A - \angle 1 = \angle AED$，
$\therefore \triangle ADE \sim \triangle ACD$（AA）。
综上，与$\triangle ADE$相似的三角形有$\triangle ABC$和$\triangle ACD$，共2个。
答案：C
3. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$为边$AC$上一点，且$\angle DBA = \angle C$. 若$AD = 2\ cm$，$AB = 4\ cm$，则$CD$的长为
6
$ cm$.
答案：3.6
解析：
证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADB$中，
$\because \angle DBA = \angle C$，$\angle A = \angle A$，
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle ADB$。
$\therefore \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AB}$。
$\because AD = 2\ cm$，$AB = 4\ cm$，
$\therefore \dfrac{4}{2} = \dfrac{AC}{4}$，解得$AC = 8\ cm$。
$\therefore CD = AC - AD = 8 - 2 = 6\ cm$。
4. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\angle A = \angle D$，$\angle BCE = \angle ACD$. 求证：$AB · EC = DE · BC$.
答案：4. $\because \angle BCE = \angle ACD$, $\therefore \angle BCE + \angle ACE = \angle ACD + \angle ACE$, 即 $\angle ACB = \angle DCE$. $\because \angle A = \angle D$, $\therefore \triangle ABC \sim \triangle DEC$. $\therefore AB:DE = BC:EC$. $\therefore AB · EC = DE · BC$
解析：
证明：
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，即∠ACB=∠DCE．
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEC．
∴AB:DE=BC:EC．
∴AB·EC=DE·BC．
5. 如图，$BD$是$\angle ABC$的平分线，$E$是$BD$延长线上的一点，且$AE = AB$. 若$AB = 6$，$BD = 4$，$DE = 5$，求$BC$的长.
答案：5. $\because BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线, $\therefore \angle ABD = \angle CBD$. $\because AB = AE$, $\therefore \angle ABD = \angle E$. $\therefore \angle E = \angle CBD$. $\because \angle EDA = \angle BDC$, $\therefore \triangle ADE \sim \triangle CDB$. $\therefore \frac{AE}{CB} = \frac{DE}{DB}$. $\because AE = AB$, $AB = 6$, $\therefore AE = 6$. $\because BD = 4$, $DE = 5$, $\therefore \frac{6}{BC} = \frac{5}{4}$. $\therefore BC = \frac{24}{5}$
