1.(教材 P21 复习题 26 第 2 题变式)对于反比例函数$y = \frac{2}{x}$，下列说法不正确的是 (
D
)
A.图象经过点$(-1,-2)$
B.图象在第一、三象限
C.当$x＞1$时，$0＜y＜2$
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
答案：1. D
2.(教材 P21 复习题 26 第 5 题变式)(2025·南通三模)已知反比例函数$y = \frac{k - 3}{x}$，在它的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而增大，则$k$的值可以是 (
D
)
A.6
B.5
C.4
D.2
答案：2. D
解析：
对于反比例函数$y = \frac{m}{x}$（$m$为常数，$m\neq0$），当$m＜0$时，在它的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而增大。
已知反比例函数$y = \frac{k - 3}{x}$，在它的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而增大，所以$k - 3＜0$，解得$k＜3$。
选项中只有$2＜3$，所以$k$的值可以是$2$。
D
3.(易错题)若点$A(a,m)$和点$B(b,n)$都在反比例函数$y = \frac{7}{x}$的图象上，且$a＜b$，则 (
D
)
A.$m＞n$
B.$m＜n$
C.$m = n$
D.$m$，$n$的大小关系无法确定
答案：3. D [易错分析]忽视反比例函数增减性的前提条件致错.
4. 在反比例函数$y = (3m - 1)x^{m^2 - 2}$的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而增大，则该反比例函数的解析式为
$y = - \frac{4}{x}$
.
答案：4. $y = - \frac{4}{x}$
解析：
解：因为函数是反比例函数，所以$m^2 - 2=-1$，解得$m=\pm1$。
当$m=1$时，$3m - 1=3×1 - 1=2$，此时函数为$y=\frac{2}{x}$，在每一支上$y$随$x$的增大而减小，不符合题意。
当$m=-1$时，$3m - 1=3×(-1)-1=-4$，此时函数为$y=-\frac{4}{x}$，在每一支上$y$随$x$的增大而增大，符合题意。
所以该反比例函数的解析式为$y = - \frac{4}{x}$。
5.(数形结合思想)在函数$y = \frac{k^2 + 2}{x}$($k$为常数)的图象上有三个点$(-2,y_1)$，$(-1,y_2)$，$(\frac{1}{2},y_3)$，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
(用“$＜$”连接).
答案：5. $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
解析：
解：对于函数$y = \frac{k^2 + 2}{x}$，因为$k^2 \geq 0$，所以$k^2 + 2 \geq 2 ＞ 0$，该函数图象在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
点$(-2,y_1)$，$(-1,y_2)$在第三象限，$-2 ＜ -1 ＜ 0$，所以$y_2 ＜ y_1$。
点$(\frac{1}{2},y_3)$在第一象限，$y_3 ＞ 0$。
综上，$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
6.（教材 P7 例 3 变式）已知反比例函数$y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$的图象经过点$(3,-\frac{4}{3})$.
(1) 求$m$的值.
(2) 函数图象在哪些象限？在每一个象限内，$y$随$x$的增大而怎样变化？
(3) 当$-3 \leq x \leq -\frac{1}{2}$时，求$y$的取值范围.
答案：6. (1)由题意，得$m = 3 × (- \frac{4}{3}) = -4$ (2) $\because m = -4$,$\therefore$反比例函数的解析式为$y = - \frac{4}{x}$. $\because -4 ＜ 0$,$\therefore$函数图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大 (3) $\because y = - \frac{4}{x}$,$\therefore$当$x = -3$时，$y = \frac{4}{3}$;当$x = - \frac{1}{2}$时，$y = 8$.$\therefore$易得当$-3 \leq x \leq - \frac{1}{2}$时，$\frac{4}{3} \leq y \leq 8$
7.(2025·内蒙古)已知点$A(m,y_1)$，$B(m + 1,y_2)$都在反比例函数$y = -\frac{3}{x}$的图象上，则下列结论一定正确的是 (
D
)
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
答案：7. D
解析：
∵点$A(m,y_1)$，$B(m + 1,y_2)$在$y = -\frac{3}{x}$上，
∴$y_1=-\frac{3}{m}$，$y_2=-\frac{3}{m+1}$。
当$m＜-1$时，$m＜0$，$m+1＜0$，
$y_1 - y_2=-\frac{3}{m}+\frac{3}{m+1}=\frac{-3(m+1)+3m}{m(m+1)}=\frac{-3}{m(m+1)}$。
∵$m＜-1$，$m(m+1)＞0$，
∴$y_1 - y_2＜0$，即$y_1＜y_2$。
D
