10. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$AB$的中点，$DC\bot AC$，且$\angle BCD = 30^{\circ}$.求$\angle CDA$的正弦值、余弦值和正切值.
答案：10.取BC的中点E，连接DE.
∵D为AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线.
∴AC=2DE，DE//AC.
∵DC⊥AC，
∴DC⊥DE，即∠CDE=90°.
∵∠BCD=30°，
∴在Rt△CDE中，DC=$\sqrt{3}$DE.设DE=k(k＞0)，则DC=$\sqrt{3}k$，AC=2k.在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{AC^{2}+DC^{2}}$=$\sqrt{7}k$，
∴sin∠CDA=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{2k}{\sqrt{7}k}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，cos∠CDA=$\frac{DC}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{7}k}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，tan∠CDA=$\frac{AC}{DC}$=$\frac{2k}{\sqrt{3}k}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
11. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\bot AB$于点$D$，$BE:AB = 3:5$.若$CE=\sqrt{2}$，$\cos\angle ACD=\frac{4}{5}$，求$\tan\angle AEC$的值及$CD$的长.
答案：11.
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°.
∴∠ACD+∠CAD=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAD=90°.
∴∠B=∠ACD.
∴cos B=cos∠ACD=$\frac{4}{5}$，即$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$.设BC=4k(k＞0)，则AB=5k.
∴AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$=3k.
∵BE:AB=3:5，
∴BE=3k.
∴CE=BC - BE=k.
∵CE=$\sqrt{2}$，
∴k=$\sqrt{2}$，则AC=3$\sqrt{2}$.
∴在Rt△ACE中，tan∠AEC=$\frac{AC}{CE}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3.在Rt△ACD中，
∵cos∠ACD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∴CD=$\frac{4}{5}$AC=$\frac{4}{5} × 3\sqrt{2}$=$\frac{12\sqrt{2}}{5}$.
12.（2025·威海）如图，$PA$是$\odot O$的切线，$A$为切点. $B$为$\odot O$上一点，射线$PB$，$AO$交于点$C$，连接$AB$，点$D$在$AB$上，过点$D$作$DF\bot AB$，交$AP$于点$F$，作$DE\bot BP$，垂足为$E$.若$AD = BE$，$BD = AF$.
（1）求证：$PB$是$\odot O$的切线；
（2）若$AP = 4$，$\sin C=\frac{2}{3}$，求$\odot O$的半径.
答案：12.(1)如图，连接OB.
∵DF⊥AB，DE⊥BP，
∴∠ADF=∠DEB=90°.在Rt△BDE和Rt△AFD中，$\begin{cases} BE=AD, \\ BD=AF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△AFD.
∴∠DBE=∠FAD.
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴∠CAP=90°.
∴∠CAB+∠PAB=90°.
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA.
∴∠OBA+∠ABE=90°.
∴∠OBE=90°.
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线.
(2)
∵∠CAP=90°，AP=4，sin C=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{2}{3}$，
∴PC=6.
∴AC=$\sqrt{PC^{2}-AP^{2}}$=$2\sqrt{5}$.
∵∠CBO=∠CAP=90°，∠C=∠C，
∴△CBO∽△CAP.
∴$\frac{OB}{PA}$=$\frac{OC}{PC}$，即$\frac{OB}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}-OB}{6}$，
∴OB=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，即⊙O的半径为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
