8. 已知$\alpha$为锐角，且$\sin(\alpha - 10^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\alpha$的度数为 (
B
)
A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案：8.B
解析：
因为$\sin(\alpha - 10^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\alpha$为锐角，所以$\alpha - 10^{\circ} = 45^{\circ}$，解得$\alpha = 55^{\circ}$。
B
9. 式子$2\cos 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}-\sqrt{(1 - \tan 60^{\circ})^2}$的值是 (
B
)
A.$2\sqrt{3}-2$
B.0
C.$2\sqrt{3}$
D.2
答案：9.B
解析：
$2\cos 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}-\sqrt{(1 - \tan 60^{\circ})^2}$
$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1-\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$
$=\sqrt{3}-1-(\sqrt{3}-1)$
$=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1$
$=0$
B
10. 若正比例函数$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$的图象与$x$轴的夹角为锐角$\alpha$，则$\alpha =$
$30^{\circ}$
.
答案：10.$30^{\circ}$
解析：
解：在正比例函数$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$中，$\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\alpha = 30^{\circ}$。
11. 如图，点$O$在$\triangle ABC$内，且到三边的距离相等，若$\angle BOC = 120^{\circ}$，则$\tan A$的值为
$\sqrt{3}$
.
答案：11.$\sqrt{3}$
解析：
证明：
∵点$O$到$\triangle ABC$三边距离相等，
∴$O$是$\triangle ABC$的内心，即$BO$、$CO$分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB$。
设$\angle OBC = \alpha$，$\angle OCB = \beta$，则$\angle ABC = 2\alpha$，$\angle ACB = 2\beta$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 120°$，
∴$\alpha + \beta = 180° - 120° = 60°$。
在$\triangle ABC$中，
$\angle A = 180° - (\angle ABC + \angle ACB) = 180° - 2(\alpha + \beta) = 180° - 2 × 60° = 60°$。
∴$\tan A = \tan 60° = \sqrt{3}$。
$\sqrt{3}$
12. 若$\alpha = 15^{\circ}$，则$\sin 2\alpha+\cos^{2}\alpha+\tan 3\alpha =$
$\frac{9}{4}$
.
答案：12.$\frac{9}{4}$
13. 已知$\alpha$是锐角，且$2\cos(\alpha - 15^{\circ}) = \sqrt{3}$，则$-4\sin^{2}\alpha+\tan^{2}45^{\circ}$的值为
-1
.
答案：13.-1
解析：
解：由$2\cos(\alpha - 15^{\circ}) = \sqrt{3}$，得$\cos(\alpha - 15^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$\alpha$是锐角，所以$\alpha - 15^{\circ}=30^{\circ}$，则$\alpha = 45^{\circ}$。
$\sin\alpha=\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45^{\circ}=1$。
$-4\sin^{2}\alpha+\tan^{2}45^{\circ}=-4×\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+1^{2}=-4×\frac{1}{2}+1=-2 + 1=-1$。
$-1$
14. 在$\triangle ABC$中，$\angle A$，$\angle B$为锐角，且满足$\left|\cos A - \frac{1}{2}\right|+\left(\sin B - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 0$，求$\angle C$的度数.
答案：14.由题意，得$\cos A=\frac{1}{2},\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$。$\therefore$易得$\angle A=60^{\circ},\angle B=45^{\circ}$。在$\triangle ABC$中，$\angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$
15. 先阅读下面的材料，再解答问题：
三角函数中常运用公式$\sin(A + B) = \sin A·\cos B+\cos A·\sin B$来求$\sin(A + B)$的值.
例如：$\sin 75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
试运用公式$\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$求$\cos 75^{\circ}$的值.
答案：15.$\cos 75^{\circ}=\cos(45^{\circ}+30^{\circ})=\cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
