17. ($2025·$安徽)如图，在由边长为$1$的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，$\triangle ABC$的顶点和点$A_{1}$均在格点(网格线的交点)上.已知点$A$，$A_{1}$的坐标分别为$(-1,-3)$，$(2,6)$.
(1)描出边$AB$的中点$D$，并写出点$D$的坐标；
(2)以点$O$为位似中心，将$\triangle ABC$放大得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，使得点$A$的对应点为$A_{1}$，请在所给的网格图中画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$.
答案：17.(1)如图，点D即为所求，点D的坐标为( - 2， - 1) (2)如图，△A₁B₁C₁即为所求
18. 如图，$AB$，$DF$为$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，连接$CD$交$AB$于点$E$，连接$AC$交$DF$于点$G$，连接$CF$，$B$为$\overset{\frown}{CD}$的中点.
(1)求证：$AB// CF$；
(2)若$\odot O$的半径为$5$，$BE = 1$，求$OG$的长.
答案：18.(1)
∵AB是⊙O的直径，B是$\overset{\frown} {CD}$的中点，
∴AB⊥CD。
∴∠AED = 90°。
∵DF是⊙O的直径，
∴∠DCF = 90°。
∴∠AED = ∠DCF。
∴AB//CF (2)
∵OD = OB = 5，BE = 1，
∴OE = OB - BE = 4。
∵∠OED = 90°，
∴$DE = EC=\sqrt{OD^2 - OE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
∴CD = 6。
∵DF = 10，∠DCF = 90°，
∴$CF=\sqrt{DF^2 - CD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
∵OA//CF，
∴△AOG∽△CFG。
∴$\frac{OG}{FG}=\frac{OA}{FC}=\frac{5}{8}$。
∴$\frac{OG}{OF}=\frac{5}{13}$。
∵OF = 5，
∴$OG=\frac{25}{13}$。
19. 已知点$E$在正方形$ABCD$的对角线$AC$上，正方形$AFEG$与正方形$ABCD$有公共点$A$.
(1)如图①，当点$G$在$AD$上，点$F$在$AB$上时，求$\frac{CE}{DG}$的值；
(2)如图②，将正方形$AFEG$绕点$A$按逆时针方向旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$，求$\frac{CE}{DG}$的值；
(3)若$AB = \sqrt{2}$，$AG = 1$，将正方形$AFEG$绕点$A$按逆时针方向旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha\leqslant360^{\circ})$，则当点$C$，$G$，$E$在同一条直线上时，求$DG$的长.
答案：19.(1)
∵正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A，点G在AD上，点F在AB上，
∴易得GE//DC。
∴$\frac{AG}{DG}=\frac{AE}{CE}$，
∴$\frac{CE}{DG}=\frac{AE}{AG}$。
∵四边形AFEG是正方形，
∴易得$AE=\sqrt{2}AG$。
∴$\frac{CE}{DG}=\frac{AE}{AG}=\sqrt{2}$ (2)连接AE。
∵正方形AFEG绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，
∴∠DAG = ∠BAF = ∠CAE = α。
∵易得$\frac{AE}{AG}=\frac{AC}{AD}=\sqrt{2}$，
∴△EAC∽△GAD。
∴$\frac{CE}{DG}=\frac{AC}{AD}=\sqrt{2}$ (3)①如图①，连接AE。
∵$AB=\sqrt{2}$，AG = 1，
∴易得$AD = AB=\sqrt{2}$，$AE=\sqrt{2}AG=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2}AB = 2$。
∵点G，E，C在同一条直线上，
∴易得在Rt△AGC中，$GC=\sqrt{AC^2 - AG^2}=\sqrt{3}$。
∴易得$CE = GC - GE=\sqrt{3}-1$。由(2)可知，△EAC∽△GAD，
∴$\frac{CE}{DG}=\frac{AC}{AD}=\sqrt{2}$。
∴$DG=\frac{\sqrt{2}}{2}CE=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。②如图②，连接AE。同理，可得$CG=\sqrt{AC^2 - AG^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
∴易得$CE = CG + EG=\sqrt{3}+1$。由(2)可知，△EAC∽△GAD，
∴$\frac{CE}{DG}=\frac{AC}{AD}=\sqrt{2}$。
∴$DG=\frac{\sqrt{2}}{2}CE=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。综上所述，当点C，G，E在同一条直线上时，DG的长为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。（注：原文档未明确区分图①和图②的图片标签，需根据实际情况补充对应图片标签）
